Regras de derivação

Nessa postagem, eu estarei abordando um pouco sobre as regras de derivação, aplicando as regras de derivação para derivar algumas funções.

definiçao derivada por limite

Derivada da função simples


$y={{x}^{n}}\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}$

Exemplos:

$1)y={{x}^{2}}\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}=2.{{x}^{2-1}}=2x$

$2)y=\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}=-1{{x}^{-1-1}}=-1{{x}^{-2}}=-1\left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{-1}{{{x}^{2}}}$

$3)y=\sqrt{x}=\sqrt[2]{{{x}^{1}}}={{x}^{\frac{1}{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}=\frac{1}{2}.{{x}^{\left( \frac{1}{2}-1 \right)}}=\frac{1}{2}.{{x}^{\left( -\frac{1}{2} \right)}}=\frac{1}{2{{x}^{\left( \frac{1}{2} \right)}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$4)y=\frac{{{x}^{5}}}{\sqrt[5]{x}}=\frac{{{x}^{5}}}{{{x}^{\frac{1}{5}}}}={{x}^{\left( 5-\frac{1}{5} \right)}}={{x}^{\frac{24}{5}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}=\frac{24}{5}.{{x}^{\left( \frac{24}{5}-1 \right)}}=\frac{24}{5}.{{x}^{\frac{19}{5}}}=\frac{24}{5}\sqrt[5]{{{x}^{19}}}$

$5)y={{x}^{3}}.\sqrt[5]{{{x}^{2}}}={{x}^{3}}.{{x}^{\frac{2}{5}}}={{x}^{\left( 3+\frac{2}{5} \right)}}={{x}^{\frac{17}{5}}}\Rightarrow $


$\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}=\frac{17}{5}.{{x}^{\left( \frac{17}{5}-1 \right)}}=\frac{17}{5}.{{x}^{\frac{12}{5}}}=\frac{17}{5}\sqrt[5]{{{x}^{12}}}$

Derivada da função composta


$y=U\left( V\left( x \right) \right)\Rightarrow y'=U'\left( V\left( x \right) \right).V'$

Exemplo:

$1)y=\cos \left( 4{{x}^{2}}-1 \right)$

$U=\cos \left( 4{{x}^{2}}-1 \right)\Rightarrow U'=-sen\left( 4{{x}^{2}}-1 \right)$

$V=4{{x}^{2}}-1\Rightarrow V'=8x$

Vide: tabela de derivadas elementares

$y'=U'\left( V\left( x \right) \right).V'=-sen\left( 4{{x}^{2}}-1 \right).8x$

Derivada da soma e subtração de funções


$y=U+V\Rightarrow y'=U'+V'$

$y=U-V\Rightarrow y'=U'-V'$

Exemplos

$1)y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}=U+V$

$U={{x}^{3}}\Rightarrow U'=3{{x}^{2}}$

$V={{x}^{2}}\Rightarrow V'=2x$

$y'=U'+V'=3{{x}^{2}}+2x$

$2)y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}=U-V$

$U={{x}^{3}}\Rightarrow U'=3{{x}^{2}}$

$V={{x}^{2}}\Rightarrow V'=2x$

$y'=U'-V'=3{{x}^{2}}-2x$

Derivada de um produto de funções


$y=\left( U \right).\left( V \right)\Rightarrow y'=\left( U' \right).\left( V \right)+\left( U \right).\left( V' \right)$

Exemplo:

$y=4{{x}^{3}}.sen\left( x \right)=\left( U \right).\left( V \right)$

$U=4{{x}^{3}}\Rightarrow U'=12{{x}^{2}}$

$V=sen\left( x \right)\Rightarrow V'=\cos \left( x \right)$

$y'=\left( U' \right).\left( V \right)+\left( U \right).\left( V' \right)\Rightarrow $

$y'=\left( 12{{x}^{2}} \right).\left( sen\left( x \right) \right)+\left( 4{{x}^{3}} \right).\left( \cos \left( x \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=12{{x}^{2}}sen\left( x \right)+4{{x}^{3}}\cos \left( x \right)$

Derivada do quociente de funções


$y=\frac{U}{V}\Rightarrow y'=\frac{\left( U \right)'.\left( V \right)-\left( U \right).\left( V \right)'}{{{V}^{2}}}$

Exemplo:

$1)y=\frac{5x-4}{2-3x}=\frac{U}{V}$

$U=5x-4\Rightarrow U'=5$

$V=2-3x\Rightarrow V'=-3$

$y'=\frac{\left( U \right)'.\left( V \right)-\left( U \right).\left( V \right)'}{{{V}^{2}}}=\frac{\left( 5 \right).\left( 2-3x \right)-\left( 5x-4 \right).\left( -3 \right)}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=\frac{\left( 10-15x \right)-\left( -15x+12 \right)}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}=\frac{10-15x+15x-12}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=\frac{-2}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}$

Referências

  • Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011. 
  • Notas de Cálculo Integral Diferencial, Prof. Fernando, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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