Exercícios resolvidos de derivada do produto de uma função

POR Pedro Coelho

Publicado: quinta-feira, 23 de fevereiro de 2017

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Nessa postagem, eu vou resolver alguns exercícios passo a passo aplicando a regra de derivada do produto de uma função:

Lista de exercícios resolvidos

$a)f\left( x \right)={{x}^{2}}.sen\left( 8x \right)$

Resolução:

$U={{x}^{2}}~~V=sen\left( 8x \right)$

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.sen\left( 8x \right)+{{x}^{2}}.\cos \left( 8x \right).8\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.sen\left( 8x \right)+8{{x}^{2}}.\cos \left( 8x \right)\Rightarrow \Rightarrow f'\left( x \right)=2x.\left( sen\left( 8x \right)+4x.\cos \left( 8x \right) \right)$


$b)f\left( x \right)=2x.\cos \left( 2x \right)$

Resolução:

$U=2x~~~~~~~~V=\cos \left( 2x \right) $

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=2.\cos \left( 2x \right)-2x.sen\left( 2x \right).2\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=2.\cos \left( 2x \right)-4x.sen\left( 2x \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=2.\left( \cos \left( 2x \right)-2x.sen\left( 2x \right) \right)$


$c)f\left( x \right)=x.{{e}^{2x}}$

Resolução:

$U=x~~~~~~~~V={{e}^{2x}}$

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=1.{{e}^{2x}}+x.{{e}^{2x}}.2\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)={{e}^{2x}}+2x.{{e}^{2x}}\Rightarrow f'\left( x \right)={{e}^{2x}}\left( 1+2x \right)$


$d)f\left( x \right)={{x}^{2}}.{{e}^{3x}}$

Resolução:

$U={{x}^{2}}~~~~~~~~V={{e}^{3x}}$

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.{{e}^{3x}}+{{x}^{2}}.{{e}^{3x}}.3\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.{{e}^{3x}}+3{{x}^{2}}.{{e}^{3x}}\Rightarrow f'\left( x \right)=x.{{e}^{3x}}\left( 2+3x \right)$


$e)f\left( x \right)=\left( 5x+1 \right).{{e}^{3x}}$

Resolução:

$U=5x+1~~~~~~~~V={{e}^{3x}}$

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=5.{{e}^{3x}}+\left( 5x+1 \right).{{e}^{3x}}.3\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=5.{{e}^{3x}}+\left( 15x+3 \right).{{e}^{3x}}\Rightarrow f'\left( x \right)=.{{e}^{3x}}\left( 5+15x+3 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=.{{e}^{3x}}\left( 15x+8 \right)$


$f)f\left( x \right)={{x}^{2}}.sen\left( 2x \right) $

Resolução:

$U={{x}^{2}}~~~~~~~~V=sen\left( 2x \right) $

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.sen\left( 2x \right)+{{x}^{2}}.\cos \left( 2x \right).2\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.sen\left( 2x \right)+2{{x}^{2}}\cos \left( 2x \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=2x\left( sen\left( 2x \right)+x.\cos \left( 2x \right) \right)$


$g)f\left( x \right)=3{{x}^{5}}.\left( 2{{x}^{2}}-7x+5 \right)$

Resolução:

$U=3{{x}^{5}}~~~~~~~~V=2{{x}^{2}}-7x+5$

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=15{{x}^{4}}.\left( 2{{x}^{2}}-7x+5 \right)+3{{x}^{5}}.\left( 4x-7 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=30{{x}^{6}}-105{{x}^{5}}+75{{x}^{4}}+12{{x}^{6}}-21{{x}^{5}}\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=42{{x}^{6}}-126{{x}^{5}}+75{{x}^{4}}$

Postagem em formato de vídeo

Para a turma que não está muito afim de ler, segue o link da postagem em formato de vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=GpXhqFb_gB4

Referências

• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Prof. Fernando, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.