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Exercícios resolvidos de derivada do produto de uma função

Nessa postagem, eu vou resolver alguns exercícios passo a passo aplicando a regra de derivada do produto de uma função:

exercicios resolvidos derivada produto funções

Lista de exercícios resolvidos


$a)f\left( x \right)={{x}^{2}}.sen\left( 8x \right)$

Resolução:

$U={{x}^{2}}~~V=sen\left( 8x \right)$

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.sen\left( 8x \right)+{{x}^{2}}.\cos \left( 8x \right).8\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.sen\left( 8x \right)+8{{x}^{2}}.\cos \left( 8x \right)\Rightarrow \Rightarrow f'\left( x \right)=2x.\left( sen\left( 8x \right)+4x.\cos \left( 8x \right) \right)$


$b)f\left( x \right)=2x.\cos \left( 2x \right)$

Resolução:

$U=2x~~~~~~~~V=\cos \left( 2x \right) $

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=2.\cos \left( 2x \right)-2x.sen\left( 2x \right).2\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=2.\cos \left( 2x \right)-4x.sen\left( 2x \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=2.\left( \cos \left( 2x \right)-2x.sen\left( 2x \right) \right)$



$c)f\left( x \right)=x.{{e}^{2x}}$

Resolução:

$U=x~~~~~~~~V={{e}^{2x}}$

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=1.{{e}^{2x}}+x.{{e}^{2x}}.2\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)={{e}^{2x}}+2x.{{e}^{2x}}\Rightarrow f'\left( x \right)={{e}^{2x}}\left( 1+2x \right)$



$d)f\left( x \right)={{x}^{2}}.{{e}^{3x}}$

Resolução:

$U={{x}^{2}}~~~~~~~~V={{e}^{3x}}$

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.{{e}^{3x}}+{{x}^{2}}.{{e}^{3x}}.3\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.{{e}^{3x}}+3{{x}^{2}}.{{e}^{3x}}\Rightarrow f'\left( x \right)=x.{{e}^{3x}}\left( 2+3x \right)$



$e)f\left( x \right)=\left( 5x+1 \right).{{e}^{3x}}$

Resolução:

$U=5x+1~~~~~~~~V={{e}^{3x}}$

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=5.{{e}^{3x}}+\left( 5x+1 \right).{{e}^{3x}}.3\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=5.{{e}^{3x}}+\left( 15x+3 \right).{{e}^{3x}}\Rightarrow f'\left( x \right)=.{{e}^{3x}}\left( 5+15x+3 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=.{{e}^{3x}}\left( 15x+8 \right)$


$f)f\left( x \right)={{x}^{2}}.sen\left( 2x \right) $

Resolução:

$U={{x}^{2}}~~~~~~~~V=sen\left( 2x \right) $

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.sen\left( 2x \right)+{{x}^{2}}.\cos \left( 2x \right).2\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=2x.sen\left( 2x \right)+2{{x}^{2}}\cos \left( 2x \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=2x\left( sen\left( 2x \right)+x.\cos \left( 2x \right) \right)$



$g)f\left( x \right)=3{{x}^{5}}.\left( 2{{x}^{2}}-7x+5 \right)$

Resolução:

$U=3{{x}^{5}}~~~~~~~~V=2{{x}^{2}}-7x+5$

$f'\left( x \right)=U'.V+U.V'\Rightarrow f'\left( x \right)=15{{x}^{4}}.\left( 2{{x}^{2}}-7x+5 \right)+3{{x}^{5}}.\left( 4x-7 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=30{{x}^{6}}-105{{x}^{5}}+75{{x}^{4}}+12{{x}^{6}}-21{{x}^{5}}\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=42{{x}^{6}}-126{{x}^{5}}+75{{x}^{4}}$


Outras Listas de Exercicios Resolvidos de Derivadas



Postagem em formato de vídeo


Para a turma que não está muito afim de ler, segue o link da postagem em formato de vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=GpXhqFb_gB4

Referências

  • Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
  • Notas de Cálculo Integral Diferencial, Prof. Fernando, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é , eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)

3 Comentários de "Exercícios resolvidos de derivada do produto de uma função"

ZIBWA
21 de fevereiro de 2023 às 07:59

Conteúdo bemcom muita boa didática.

Valíh
19 de novembro de 2023 às 11:49

Boa tarde,

No primeiro exemplo, a resposta não deveria ser 8x^2 ao invés de 4x? Não consegui chegar em 4x

Pedro Coelho
19 de novembro de 2023 às 17:36

Olá Valih

Dá uma olhada nos parênteses, e você vai ve que eu apenas simplifiquei 8x² no final por isso deu 4x. Dá uma ampliada na tela pois as equações montadas em sistema latex ficam pequenas e ai não deu para você notar os parênteses :(

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