Nessa postagem, eu vou resolver alguns exercícios passo a passo aplicando a
regra de derivada do quociente de uma função:
Lista de exercícios resolvidos
$a)f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{3x}}}$
Resolução:
$U={{x}^{3}}~~~~~~~~V={{e}^{3x}}$
$f\left( x \right)=\frac{U}{V}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{U'V-U.V'}{{{V}^{2}}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}.{{e}^{3x}}-{{x}^{3}}.{{e}^{3x}}.3}{{{\left( {{e}^{3x}} \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-3{{x}^{3}}}{{{e}^{3x}}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}\left( 1-x \right)}{{{e}^{3x}}}$
$b)f\left( x \right)=\ln \left( \sqrt{\frac{3x+1}{1-2x}} \right)$
Resolução:
Sendo:
$f\left( x \right)=\sqrt{x}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f\left( x \right)=\ln \left( x \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{x}$
Primeiramente, nesse caso vamos começar calculando a derivada da fração.
$U=3x+1~~~~~~~~V=1-2x$
$f\left( x \right)=\frac{3x+1}{1-2x}\Rightarrow f'\left( x \right)\frac{3.\left( 1-2x \right)-\left( 3x+1 \right).-2}{{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{\left( 3-6x \right)+\left( 6x+2 \right)}{{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{5}{{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}$
Com a derivada da fração, aplicamos a derivação.
Obs: preste atenção na derivada do ln, da raiz de x e da fração.
$f\left( x \right)=\ln \left( \sqrt{\frac{3x+1}{1-2x}} \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{\frac{3x+1}{1-2x}}}.\frac{1}{2\sqrt{\frac{3x+1}{1-2x}}}.\frac{5}{{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{2.\left( \frac{3x+1}{1-2x} \right)}.\frac{5}{{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{5}{2.\left( 3x+1 \right).\left( 1-2x \right)}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{5}{2.\left( 3x+1 \right).\left( 1-2x \right)}$
$c)f\left( x \right)=\frac{1}{sen\left( 2x \right)}$
Resolução:
$U=1~~~~~~~~V=sen\left( 2x \right) $
$f\left( x \right)=\frac{U}{V}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{U'V-U.V'}{{{V}^{2}}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{0.sen\left( 2x \right)-1.\cos \left( 2x \right).2}{{{\left( sen\left( 2x \right) \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2.\cos \left( 2x \right)}{se{{n}^{2}}\left( 2x \right)}$
$d)f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$
Resolução:
$U=1~~~~~~~~V=\sqrt{2x+3}$
Primeiramente, vamos resolver a derivada de 1 sobre raiz de x.
$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{-\frac{1}{2}}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=-\frac{1.{{x}^{-\frac{1}{2}-1}}}{2}\Rightarrow f'\left( x \right)=-\frac{1.{{x}^{-\frac{3}{2}}}}{2}\Rightarrow f'\left( x \right)=-\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{3}}}}$
Logo:
$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}\Rightarrow f'\left( x \right)=-\frac{1}{2\sqrt{{{\left( 2x+3 \right)}^{3}}}}.2\Rightarrow f'\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( 2x+3 \right)}^{3}}}}$
Obs: não se esqueça da derivada do que está dentro da raiz!
$e)f\left( x \right)=\frac{5x-4}{2-3x}$
Resolução:
$U=5x-4~~~~~~~~V=2-3x$
$f\left( x \right)=\frac{U}{V}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{U'V-U.V'}{{{V}^{2}}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{5.\left( 2-3x \right)-\left( 5x-4 \right).\left( -3 \right)}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{\left( 10-15x \right)+\left( 15x-12 \right)}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}$
Postagem em formato de vídeo
Referências
- Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
- Notas de Cálculo Integral Diferencial, Prof. Fernando, Santos, São Paulo, 2010.
