Exercícios resolvidos de derivada do quociente de uma função

POR Pedro Coelho

Publicado: segunda-feira, 27 de fevereiro de 2017

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Nessa postagem, eu vou resolver alguns exercícios passo a passo aplicando a regra de derivada do quociente de uma função:

Lista de exercícios resolvidos

$a)f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{3x}}}$

Resolução:

$U={{x}^{3}}~~~~~~~~V={{e}^{3x}}$

$f\left( x \right)=\frac{U}{V}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{U'V-U.V'}{{{V}^{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}.{{e}^{3x}}-{{x}^{3}}.{{e}^{3x}}.3}{{{\left( {{e}^{3x}} \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-3{{x}^{3}}}{{{e}^{3x}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}\left( 1-x \right)}{{{e}^{3x}}}$


$b)f\left( x \right)=\ln \left( \sqrt{\frac{3x+1}{1-2x}} \right)$

Resolução:

Sendo:

$f\left( x \right)=\sqrt{x}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$f\left( x \right)=\ln \left( x \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{x}$

Primeiramente, nesse caso vamos começar calculando a derivada da fração.

$U=3x+1~~~~~~~~V=1-2x$

$f\left( x \right)=\frac{3x+1}{1-2x}\Rightarrow f'\left( x \right)\frac{3.\left( 1-2x \right)-\left( 3x+1 \right).-2}{{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{\left( 3-6x \right)+\left( 6x+2 \right)}{{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{5}{{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}$

Com a derivada da fração, aplicamos a derivação.

Obs: preste atenção na derivada do ln, da raiz de x e da fração.

$f\left( x \right)=\ln \left( \sqrt{\frac{3x+1}{1-2x}} \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{\frac{3x+1}{1-2x}}}.\frac{1}{2\sqrt{\frac{3x+1}{1-2x}}}.\frac{5}{{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{2.\left( \frac{3x+1}{1-2x} \right)}.\frac{5}{{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{5}{2.\left( 3x+1 \right).\left( 1-2x \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{5}{2.\left( 3x+1 \right).\left( 1-2x \right)}$


$c)f\left( x \right)=\frac{1}{sen\left( 2x \right)}$

Resolução:

$U=1~~~~~~~~V=sen\left( 2x \right) $

$f\left( x \right)=\frac{U}{V}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{U'V-U.V'}{{{V}^{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{0.sen\left( 2x \right)-1.\cos \left( 2x \right).2}{{{\left( sen\left( 2x \right) \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2.\cos \left( 2x \right)}{se{{n}^{2}}\left( 2x \right)}$


$d)f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$

Resolução:

$U=1~~~~~~~~V=\sqrt{2x+3}$

Primeiramente, vamos resolver a derivada de 1 sobre raiz de x.

$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{-\frac{1}{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=-\frac{1.{{x}^{-\frac{1}{2}-1}}}{2}\Rightarrow f'\left( x \right)=-\frac{1.{{x}^{-\frac{3}{2}}}}{2}\Rightarrow f'\left( x \right)=-\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{3}}}}$

Logo:

$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}\Rightarrow f'\left( x \right)=-\frac{1}{2\sqrt{{{\left( 2x+3 \right)}^{3}}}}.2\Rightarrow f'\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( 2x+3 \right)}^{3}}}}$

Obs: não se esqueça da derivada do que está dentro da raiz!


$e)f\left( x \right)=\frac{5x-4}{2-3x}$

Resolução:

$U=5x-4~~~~~~~~V=2-3x$

$f\left( x \right)=\frac{U}{V}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{U'V-U.V'}{{{V}^{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{5.\left( 2-3x \right)-\left( 5x-4 \right).\left( -3 \right)}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{\left( 10-15x \right)+\left( 15x-12 \right)}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}$

Postagem em formato de vídeo

Para a turma que não está muito afim de ler, segue o link da postagem em formato de vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=xXr-w4TN9g0

Referências

• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Prof. Fernando, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.