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Nesta postagem, eu vou resolver alguns exercícios passo a passo aplicando regra de derivação (xn)’ = n.xn-1
$a)f\left( x \right)={{x}^{5}}$
Resolução:
$f'\left( x \right)=n.{{x}^{n-1}}\Rightarrow f'\left( x \right)=5.{{x}^{5-1}}\Rightarrow f'\left( x \right)=5{{x}^{4}}$
$b)f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{5}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{-5}}\Rightarrow f'\left( x \right)=-5{{x}^{-5-1}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=-5{{x}^{-6}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-5}{{{x}^{6}}}$
$c)f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{-3}{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3{{x}^{\frac{-3}{2}-1}}}{2}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3{{x}^{\frac{-5}{2}}}}{2}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3}{2{{x}^{\frac{5}{2}}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3}{2\sqrt{{{x}^{5}}}}$
$d)f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{2}{3}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{\frac{2}{3}-1}}}{3}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{\frac{-1}{3}}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
$e)f\left( x \right)={{x}^{2}}.\sqrt[4]{{{x}^{3}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)={{x}^{2}}.\sqrt[4]{{{x}^{3}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}.{{x}^{\frac{3}{4}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{11}{4}}}\Rightarrow$
Observação: $2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11{{x}^{\frac{11}{4}-1}}}{4}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11{{x}^{\frac{7}{4}}}}{4}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11\sqrt[4]{{{x}^{7}}}}{4}$
$f)f\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{5}}}}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{5}}}}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{\frac{5}{2}}}}{{{x}^{\frac{2}{5}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{5}{2}}}.{{x}^{\frac{-2}{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{21}{10}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21{{x}^{\frac{21}{10}-1}}}{10}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21{{x}^{\frac{11}{10}}}}{10}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21\sqrt[10]{{{x}^{11}}}}{10}$
$g)f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{x}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{\frac{1}{3}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}.{{x}^{\frac{-1}{3}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{8}{3}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{8}{3}-1}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{5}{3}}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8\sqrt[3]{{{x}^{5}}}}{3}$
$h)f\left( x \right)=x.\sqrt[5]{{{x}^{3}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=x.\sqrt[5]{{{x}^{3}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{1}}.{{x}^{\frac{3}{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{8}{5}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{8}{5}-1}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{3}{5}}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8\sqrt[5]{{{x}^{3}}}}{5}$
$i)f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{-2}{5}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{\frac{-2}{5}-1}}}{5}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{\frac{-7}{5}}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2}{5.\sqrt[5]{{{x}^{7}}}}$
$j)f\left( x \right)=3x+2$
Resolução:
$f\left( x \right)=3x+2\Rightarrow f'\left( x \right)=3.\left( 1 \right).{{x}^{1-1}}+0\Rightarrow f'\left( x \right)=3$
Observação: Derivada de constante é igual a zero.
Veja: Tabela de Derivadas Elementares
Lista de exercícios resolvidos
$a)f\left( x \right)={{x}^{5}}$
Resolução:
$f'\left( x \right)=n.{{x}^{n-1}}\Rightarrow f'\left( x \right)=5.{{x}^{5-1}}\Rightarrow f'\left( x \right)=5{{x}^{4}}$
$b)f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{5}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{-5}}\Rightarrow f'\left( x \right)=-5{{x}^{-5-1}}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=-5{{x}^{-6}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-5}{{{x}^{6}}}$
$c)f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{-3}{2}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3{{x}^{\frac{-3}{2}-1}}}{2}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3{{x}^{\frac{-5}{2}}}}{2}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3}{2{{x}^{\frac{5}{2}}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-3}{2\sqrt{{{x}^{5}}}}$
$d)f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{2}{3}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{\frac{2}{3}-1}}}{3}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{\frac{-1}{3}}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
$e)f\left( x \right)={{x}^{2}}.\sqrt[4]{{{x}^{3}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)={{x}^{2}}.\sqrt[4]{{{x}^{3}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}.{{x}^{\frac{3}{4}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{11}{4}}}\Rightarrow$
Observação: $2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11{{x}^{\frac{11}{4}-1}}}{4}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11{{x}^{\frac{7}{4}}}}{4}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{11\sqrt[4]{{{x}^{7}}}}{4}$
$f)f\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{5}}}}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{5}}}}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{\frac{5}{2}}}}{{{x}^{\frac{2}{5}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{5}{2}}}.{{x}^{\frac{-2}{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{21}{10}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21{{x}^{\frac{21}{10}-1}}}{10}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21{{x}^{\frac{11}{10}}}}{10}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{21\sqrt[10]{{{x}^{11}}}}{10}$
$g)f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{x}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{\frac{1}{3}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}.{{x}^{\frac{-1}{3}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{8}{3}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{8}{3}-1}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{5}{3}}}}{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8\sqrt[3]{{{x}^{5}}}}{3}$
$h)f\left( x \right)=x.\sqrt[5]{{{x}^{3}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=x.\sqrt[5]{{{x}^{3}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{1}}.{{x}^{\frac{3}{5}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{8}{5}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{8}{5}-1}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8{{x}^{\frac{3}{5}}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{8\sqrt[5]{{{x}^{3}}}}{5}$
$i)f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}$
Resolução:
$f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{\frac{-2}{5}}}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{\frac{-2}{5}-1}}}{5}\Rightarrow $
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{\frac{-7}{5}}}}{5}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{-2}{5.\sqrt[5]{{{x}^{7}}}}$
$j)f\left( x \right)=3x+2$
Resolução:
$f\left( x \right)=3x+2\Rightarrow f'\left( x \right)=3.\left( 1 \right).{{x}^{1-1}}+0\Rightarrow f'\left( x \right)=3$
Observação: Derivada de constante é igual a zero.
Veja: Tabela de Derivadas Elementares
Outras Listas de Exercicios Resolvidos de Derivadas
Postagem em formato de vídeo
Para a turma que não está muito afim de ler, segue o link da postagem em formato de vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=zqdmfXeLj8M
Referências
- Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
- Notas de Cálculo Integral Diferencial, Profº Fernando, Santos, São Paulo, 2010.
Sobre o autor
Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean
Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)
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