As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. As matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com “m” linhas e “n” colunas, por exemplo:
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| matrizes de ordem 2x3 e 3x2 |
Adição de Matrizes
A adição de matrizes é uma operação que só pode ser feita por matrizes do mesmo tipo com o mesmo número de linhas e colunas, sendo que nessa operação nós simplesmente somamos os elementos correspondentes de A e B.
Exemplos:
1) Determine a soma das matrizes A e B:
Resolução:
Resolução:
Subtração ou diferença de matrizes
A subtração de matrizes é uma operação que só pode ser feita por matrizes do mesmo tipo com o mesmo número de linhas e colunas, sendo que nessa operação nós simplesmente subtraímos os elementos correspondentes de A e B.
Exemplos:
1) Determine a diferença entre as matrizes A e B:
Resolução:
Resolução
Multiplicação ou Produto de Matrizes
A
multiplicação de matrizes é um processo que pode ser feito somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Sendo a matriz A do tipo “mxn” e a matriz B do tipo “nxp”, e o produto da operação uma matriz “mxp”, que pode ser chamada AB ou de C.
Exemplo:
1) Dado A e B, determine AB:
Multiplicando uma linha por uma coluna:
Inversão de matrizes quadradas
A inversão de matrizes é uma operação que só pode ser feita em matrizes quadradas, ou seja, matrizes 2x2, 3x3 e por ai em diante. A definição dessa operação é dada por:
$A.{{A}^{-1}}=I$
Sendo:
- A a matriz A;
- ${{A}^{-1}}$ a inversa de A;
- I a matriz identidade, que é uma matriz quadrada, que possui o mesmo número de linhas e colunas, onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais elementos da matriz são 0.
Exemplo:
1) Ache a inversa da matriz abaixo:
Resolução:
Multiplicando as linhas da matriz A pelas colunas de sua inversa, e igualando aos elementos da matriz identidade temos:
Resolvendo esse sistema de equações, temos:
$a=4,~~d=-7,~~c=3,~~f=-5$
Logo:
Transposta de uma matriz
A transposta de uma matriz (também chamada de matriz transposta) é a troca de suas linhas por colunas.
Exemplo:
Sistemas lineares (Escalonamento de Matrizes)
O escalonamento de matrizes é um processo onde você transforma um sistema linear em uma matriz, para obter o valor das incógnitas desse sistema.
Exemplo:
Transformando o sistema em matrizes:
Para escalonarmos essa matriz, devemos primeiramente zerar o primeiro elemento da segunda e da terceira linha, sendo que para isso, iremos somar os itens da segunda e da terceira com o resultado da multiplicação do oposto do primeiro item - da segunda e da terceira linha -, pelos elementos da primeira linha.
Com isso, obtemos a segunda e a terceira equação.
Logo, resolvendo esse sistema de equações:
$-2y+1z=1\Rightarrow z=2y+1$
Substituindo z na terceira equação:
$-19y-11\left( 2y+1 \right)=-52\Rightarrow -19y-22y-11=-52\Rightarrow $
$\Rightarrow -19y-22y-11=-52\Rightarrow -41y=-41\Rightarrow y=1$
Logo:
$z=2\left( 1 \right)+1=3$
Agora substituindo esses valores em uma das equações do sistema para encontrar o valor x. Nessa demonstração, eu vou substituir na primeira.
$x+5y+3z=16\Rightarrow x+5\left( 1 \right)+3\left( 3 \right)=16\Rightarrow $
$\Rightarrow x+5+9=16\Rightarrow x=2$
Propriedades de matriz
Reforçando um pouco a postagem com algumas propriedades das matrizes = )
$1){{\left( {{A}^{T}} \right)}^{T}}=A;~~{{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{-1}}=A$
$2){{\left( {{A}^{T}} \right)}^{-1}}\acute{e}~~o~~mesmo~~que~{{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{T}}$
$3){{\left( A.B \right)}^{T}}={{B}^{T}}.{{A}^{T}}~;~~{{\left( A.B \right)}^{-1}}={{B}^{-1}}.{{A}^{-1}}$
$4){{A}^{-1}}.A=I$
$5)A.{{A}^{-1}}=I$
Referências
- Notas de Cálculo Numérico, Profº Joaquim, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011.
- Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
- Elementos de cálculo numérico 2°Edição, Dirceu Douglas Salvetti, Companhia Editora Nacional, São Paulo, Brasil, 1976.
