Matrizes: Adição, subtração, multiplicação e outras operações

POR Pedro Coelho

Publicado: sexta-feira, 22 de janeiro de 2016

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As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. As matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com “m” linhas e “n” colunas, por exemplo:

matrizes de ordem 2x3 e 3x2

Adição de Matrizes

A adição de matrizes é uma operação que só pode ser feita por matrizes do mesmo tipo com o mesmo número de linhas e colunas, sendo que nessa operação nós simplesmente somamos os elementos correspondentes de A e B.

Exemplos:

1) Determine a soma das matrizes A e B:

Resolução:

Resolução:

Subtração ou diferença de matrizes

A subtração de matrizes é uma operação que só pode ser feita por matrizes do mesmo tipo com o mesmo número de linhas e colunas, sendo que nessa operação nós simplesmente subtraímos os elementos correspondentes de A e B.

Exemplos:

1) Determine a diferença entre as matrizes A e B:

Resolução:

Resolução

Multiplicação ou Produto de Matrizes

A multiplicação de matrizes é um processo que pode ser feito somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Sendo a matriz A do tipo “mxn” e a matriz B do tipo “nxp”, e o produto da operação uma matriz “mxp”, que pode ser chamada AB ou de C.

Exemplo:

1) Dado A e B, determine AB:

Multiplicando uma linha por uma coluna:

Inversão de matrizes quadradas

A inversão de matrizes é uma operação que só pode ser feita em matrizes quadradas, ou seja, matrizes 2x2, 3x3 e por ai em diante. A definição dessa operação é dada por:

$A.{{A}^{-1}}=I$

Sendo:

• A a matriz A;
• ${{A}^{-1}}$ a inversa de A;
• I a matriz identidade, que é uma matriz quadrada, que possui o mesmo número de linhas e colunas, onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais elementos da matriz são 0.

Exemplo:

1) Ache a inversa da matriz abaixo:

Resolução:

Multiplicando as linhas da matriz A pelas colunas de sua inversa, e igualando aos elementos da matriz identidade temos:

Resolvendo esse sistema de equações, temos:

$a=4,~~d=-7,~~c=3,~~f=-5$

Logo:

Transposta de uma matriz

A transposta de uma matriz (também chamada de matriz transposta) é a troca de suas linhas por colunas.

Exemplo:

Sistemas lineares (Escalonamento de Matrizes)

O escalonamento de matrizes é um processo onde você transforma um sistema linear em uma matriz, para obter o valor das incógnitas desse sistema.

Exemplo:

Transformando o sistema em matrizes:

Para escalonarmos essa matriz, devemos primeiramente zerar o primeiro elemento da segunda e da terceira linha, sendo que para isso, iremos somar os itens da segunda e da terceira com o resultado da multiplicação do oposto do primeiro item - da segunda e da terceira linha -, pelos elementos da primeira linha.

Com isso, obtemos a segunda e a terceira equação.

Logo, resolvendo esse sistema de equações:

$-2y+1z=1\Rightarrow z=2y+1$

Substituindo z na terceira equação:

$-19y-11\left( 2y+1 \right)=-52\Rightarrow -19y-22y-11=-52\Rightarrow $

$\Rightarrow -19y-22y-11=-52\Rightarrow -41y=-41\Rightarrow y=1$

Logo:

$z=2\left( 1 \right)+1=3$

Agora substituindo esses valores em uma das equações do sistema para encontrar o valor x. Nessa demonstração, eu vou substituir na primeira.

$x+5y+3z=16\Rightarrow x+5\left( 1 \right)+3\left( 3 \right)=16\Rightarrow $

$\Rightarrow x+5+9=16\Rightarrow x=2$

Propriedades de matriz

Reforçando um pouco a postagem com algumas propriedades das matrizes = )

$1){{\left( {{A}^{T}} \right)}^{T}}=A;~~{{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{-1}}=A$

$2){{\left( {{A}^{T}} \right)}^{-1}}\acute{e}~~o~~mesmo~~que~{{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{T}}$

$3){{\left( A.B \right)}^{T}}={{B}^{T}}.{{A}^{T}}~;~~{{\left( A.B \right)}^{-1}}={{B}^{-1}}.{{A}^{-1}}$

$4){{A}^{-1}}.A=I$

$5)A.{{A}^{-1}}=I$

Listas de Exercicios Resolvidos de Matrizes

• Exercícios Resolvidos de Matrizes: Multiplicação e Divisão
• Exercícios Resolvidos de Matrizes: Soma e Subtração

Referências

• Notas de Cálculo Numérico, Profº Joaquim, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011. 
• Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011. 
• Elementos de cálculo numérico 2°Edição, Dirceu Douglas Salvetti, Companhia Editora Nacional, São Paulo, Brasil, 1976.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)