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Matrizes: Adição, subtração, multiplicação e outras operações

As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. As matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com “m” linhas e “n” colunas, por exemplo:
matrizes de ordem 2x3 e 3x2
matrizes de ordem 2x3 e 3x2

Adição de Matrizes


A adição de matrizes é uma operação que só pode ser feita por matrizes do mesmo tipo com o mesmo número de linhas e colunas, sendo que nessa operação nós simplesmente somamos os elementos correspondentes de A e B.

Exemplos:

1) Determine a soma das matrizes A e B:

matriz a e b exemplo a
Resolução:
soma da matriz a e b

matriz a e b exemplo b
Resolução:

adição da matriz a e b exemplo b

Subtração ou diferença de matrizes


A subtração de matrizes é uma operação que só pode ser feita por matrizes do mesmo tipo com o mesmo número de linhas e colunas, sendo que nessa operação nós simplesmente subtraímos os elementos correspondentes de A e B.

Exemplos:

1) Determine a diferença entre as matrizes A e B:

matriz a e b exemplo a2
Resolução:
subtração da matriz a e b  exemplo a2
matriz a e b exemplo b2
Resolução
diferença da matriz a e b exemplo b2

Multiplicação ou Produto de Matrizes


A multiplicação de matrizes é um processo que pode ser feito somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Sendo a matriz A do tipo “mxn” e a matriz B do tipo “nxp”, e o produto da operação uma matriz “mxp”, que pode ser chamada AB ou de C.

Exemplo:

1) Dado A e B, determine AB:


multiplicação de matrizes


Multiplicando uma linha por uma coluna:

multiplicando as matrizes


Inversão de matrizes quadradas


A inversão de matrizes é uma operação que só pode ser feita em matrizes quadradas, ou seja, matrizes 2x2, 3x3 e por ai em diante. A definição dessa operação é dada por:

$A.{{A}^{-1}}=I$

Sendo:
  • A a matriz A;
  • ${{A}^{-1}}$ a inversa de A;
  • I a matriz identidade, que é uma matriz quadrada, que possui o mesmo número de linhas e colunas, onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais elementos da matriz são 0.
Exemplo:

1) Ache a inversa da matriz abaixo:
matriz a
Resolução:

calculando a inversa da matriz a
Multiplicando as linhas da matriz A pelas colunas de sua inversa, e igualando aos elementos da matriz identidade temos:

sistema de equações

Resolvendo esse sistema de equações, temos:

$a=4,~~d=-7,~~c=3,~~f=-5$

Logo:
matriz inversa de a

Transposta de uma matriz


A transposta de uma matriz (também chamada de matriz transposta) é a troca de suas linhas por colunas.

Exemplo:


transposta de uma matriz

Sistemas lineares (Escalonamento de Matrizes)


O escalonamento de matrizes é um processo onde você transforma um sistema linear em uma matriz, para obter o valor das incógnitas desse sistema.

Exemplo:
sistemas de lineares
Transformando o sistema em matrizes:

transformando o sistema linear em matriz


Para escalonarmos essa matriz, devemos primeiramente zerar o primeiro elemento da segunda e da terceira linha, sendo que para isso, iremos somar os itens da segunda e da terceira com o resultado da multiplicação do oposto do primeiro item - da segunda e da terceira linha -, pelos elementos da primeira linha.

fazendo o escalonamento

Com isso, obtemos a segunda e a terceira equação.

obtendo as equações

Logo, resolvendo esse sistema de equações:

$-2y+1z=1\Rightarrow z=2y+1$

Substituindo z na terceira equação:

$-19y-11\left( 2y+1 \right)=-52\Rightarrow -19y-22y-11=-52\Rightarrow $

$\Rightarrow -19y-22y-11=-52\Rightarrow -41y=-41\Rightarrow y=1$

Logo:

$z=2\left( 1 \right)+1=3$

Agora substituindo esses valores em uma das equações do sistema para encontrar o valor x. Nessa demonstração, eu vou substituir na primeira.

$x+5y+3z=16\Rightarrow x+5\left( 1 \right)+3\left( 3 \right)=16\Rightarrow $

$\Rightarrow x+5+9=16\Rightarrow x=2$

Propriedades de matriz


Reforçando um pouco a postagem com algumas propriedades das matrizes = )

$1){{\left( {{A}^{T}} \right)}^{T}}=A;~~{{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{-1}}=A$

$2){{\left( {{A}^{T}} \right)}^{-1}}\acute{e}~~o~~mesmo~~que~{{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{T}}$

$3){{\left( A.B \right)}^{T}}={{B}^{T}}.{{A}^{T}}~;~~{{\left( A.B \right)}^{-1}}={{B}^{-1}}.{{A}^{-1}}$

$4){{A}^{-1}}.A=I$

$5)A.{{A}^{-1}}=I$

Referências

  • Notas de Cálculo Numérico, Profº Joaquim, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011. 
  • Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011. 
  • Elementos de cálculo numérico 2°Edição, Dirceu Douglas Salvetti, Companhia Editora Nacional, São Paulo, Brasil, 1976.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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7 Comentários de "Matrizes: Adição, subtração, multiplicação e outras operações"

Muito bom,claro e objetivo. Parabéns.

mt bommmmmmmmmm

Excelente explicação principalmente pra alunas como eu que estão boiando na aula.

Não entendo muito sobre esses assuntos matemáticos você poderia me explica com mas clareza se pode agradeço

Olá anônimo

Me desculpa pela demora, o que você não está conseguindo entender?

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