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Matrizes: Adição, subtração, multiplicação e outras operações

As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. As matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com “m” linhas e “n” colunas, por exemplo:
matrizes de ordem 2x3 e 3x2
matrizes de ordem 2x3 e 3x2

Adição de Matrizes


A adição de matrizes é uma operação que só pode ser feita por matrizes do mesmo tipo com o mesmo número de linhas e colunas, sendo que nessa operação nós simplesmente somamos os elementos correspondentes de A e B.

Exemplos:

1) Determine a soma das matrizes A e B:

matriz a e b exemplo a
Resolução:
soma da matriz a e b

matriz a e b exemplo b
Resolução:

adição da matriz a e b exemplo b

Subtração ou diferença de matrizes


A subtração de matrizes é uma operação que só pode ser feita por matrizes do mesmo tipo com o mesmo número de linhas e colunas, sendo que nessa operação nós simplesmente subtraímos os elementos correspondentes de A e B.

Exemplos:

1) Determine a diferença entre as matrizes A e B:

matriz a e b exemplo a2
Resolução:
subtração da matriz a e b  exemplo a2
matriz a e b exemplo b2
Resolução
diferença da matriz a e b exemplo b2

Multiplicação ou Produto de Matrizes


A multiplicação de matrizes é um processo que pode ser feito somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Sendo a matriz A do tipo “mxn” e a matriz B do tipo “nxp”, e o produto da operação uma matriz “mxp”, que pode ser chamada AB ou de C.

Exemplo:

1) Dado A e B, determine AB:


multiplicação de matrizes


Multiplicando uma linha por uma coluna:

multiplicando as matrizes


Inversão de matrizes quadradas


A inversão de matrizes é uma operação que só pode ser feita em matrizes quadradas, ou seja, matrizes 2x2, 3x3 e por ai em diante. A definição dessa operação é dada por:

$A.{{A}^{-1}}=I$

Sendo:
  • A a matriz A;
  • ${{A}^{-1}}$ a inversa de A;
  • I a matriz identidade, que é uma matriz quadrada, que possui o mesmo número de linhas e colunas, onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais elementos da matriz são 0.
Exemplo:

1) Ache a inversa da matriz abaixo:
matriz a
Resolução:

calculando a inversa da matriz a
Multiplicando as linhas da matriz A pelas colunas de sua inversa, e igualando aos elementos da matriz identidade temos:

sistema de equações

Resolvendo esse sistema de equações, temos:

$a=4,~~d=-7,~~c=3,~~f=-5$

Logo:
matriz inversa de a

Transposta de uma matriz


A transposta de uma matriz (também chamada de matriz transposta) é a troca de suas linhas por colunas.

Exemplo:


transposta de uma matriz

Sistemas lineares (Escalonamento de Matrizes)


O escalonamento de matrizes é um processo onde você transforma um sistema linear em uma matriz, para obter o valor das incógnitas desse sistema.

Exemplo:
sistemas de lineares
Transformando o sistema em matrizes:

transformando o sistema linear em matriz


Para escalonarmos essa matriz, devemos primeiramente zerar o primeiro elemento da segunda e da terceira linha, sendo que para isso, iremos somar os itens da segunda e da terceira com o resultado da multiplicação do oposto do primeiro item - da segunda e da terceira linha -, pelos elementos da primeira linha.

fazendo o escalonamento

Com isso, obtemos a segunda e a terceira equação.

obtendo as equações

Logo, resolvendo esse sistema de equações:

$-2y+1z=1\Rightarrow z=2y+1$

Substituindo z na terceira equação:

$-19y-11\left( 2y+1 \right)=-52\Rightarrow -19y-22y-11=-52\Rightarrow $

$\Rightarrow -19y-22y-11=-52\Rightarrow -41y=-41\Rightarrow y=1$

Logo:

$z=2\left( 1 \right)+1=3$

Agora substituindo esses valores em uma das equações do sistema para encontrar o valor x. Nessa demonstração, eu vou substituir na primeira.

$x+5y+3z=16\Rightarrow x+5\left( 1 \right)+3\left( 3 \right)=16\Rightarrow $

$\Rightarrow x+5+9=16\Rightarrow x=2$

Propriedades de matriz


Reforçando um pouco a postagem com algumas propriedades das matrizes = )

$1){{\left( {{A}^{T}} \right)}^{T}}=A;~~{{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{-1}}=A$

$2){{\left( {{A}^{T}} \right)}^{-1}}\acute{e}~~o~~mesmo~~que~{{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{T}}$

$3){{\left( A.B \right)}^{T}}={{B}^{T}}.{{A}^{T}}~;~~{{\left( A.B \right)}^{-1}}={{B}^{-1}}.{{A}^{-1}}$

$4){{A}^{-1}}.A=I$

$5)A.{{A}^{-1}}=I$

Listas de Exercicios Resolvidos de Matrizes



Referências

  • Notas de Cálculo Numérico, Profº Joaquim, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011. 
  • Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011. 
  • Elementos de cálculo numérico 2°Edição, Dirceu Douglas Salvetti, Companhia Editora Nacional, São Paulo, Brasil, 1976.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é , eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)

8 Comentários de "Matrizes: Adição, subtração, multiplicação e outras operações"

7 de dezembro de 2016 às 06:52

Muito bom,claro e objetivo. Parabéns.

Anônimo
19 de agosto de 2017 às 12:48

mt bommmmmmmmmm

17 de outubro de 2017 às 16:38

Excelente explicação principalmente pra alunas como eu que estão boiando na aula.

18 de junho de 2018 às 20:08

Muito bom, bem explicado

9 de maio de 2019 às 10:44

Não entendo muito sobre esses assuntos matemáticos você poderia me explica com mas clareza se pode agradeço

12 de maio de 2019 às 15:24

Olá anônimo

Me desculpa pela demora, o que você não está conseguindo entender?

27 de novembro de 2019 às 23:59

Bem explicado parabéns!

13 de dezembro de 2022 às 21:06

Amanhã vou fazer prova final tô com muito medo de fica de ano,mais valeu por ensina bem

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