Biografia de Arquimedes: Invenções e Descobertas

POR Pedro Coelho

Publicado: terça-feira, 27 de dezembro de 2022

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O Arquimedes de Siracusa foi um matematico e fisico que nasceu em 287 a.C em Siracusa, Sicília (Itália). Ele foi um famoso inventor da Grecia antiga que provavelmente deve ter passado alguns anos de vida no Egito, mas residiu boa parte de sua vida em Siracusa, a principal cidade-estado grego na Sicília, onde teve relações íntimas com seu rei, Hieron II.

Retrato de Arquimedes de Siracusa pintado por Domenico Fetti em 1620

Ele é um dos cientistas antigos que mais se tem informações referente a sua historia, sendo que grande parte dessas informações são em forma anedótica, e refletem a impressão que sua genealidade na mecânica causou na imaginação popular.

Ele também é conhecido pela invenção do parafuso de Arquimedes, e ele supostamente fez duas “esferas” que Marcus Claudius Marcellus levou de volta a Roma – uma um globo estelar e a outra um dispositivo (cujos detalhes são incertos) para representar mecanicamente o movimentos do Sol, da Lua e dos planetas.

Arquimedes era um cientista que costumava publicar as suas obras na forma de correspondência juntamente com os principais matemáticos de seu tempo, incluindo os estudiosos alexandrinos Conon de Samos e Eratóstenes de Cirene.

As pessoas geralmente se lembram dele por causa da história de que ele determinou a proporção de ouro e prata em uma coroa feita para o rei Hieron II pesando-a em água, e isso provavelmente deve ter ocorrido. No entanto, a versão da história que diz que ele pulou da banheira após ter a ideia e saiu nu pelas ruas gritando “Heurēka!” (“Eu descobri ou Eu Encontrei!”) é provavelmente falsa.

Arquimedes em seu banho. Xilogravura colorida à mão, 1547. Crédito: Universal History Archive/Getty Images

Uma outra história apócrifa (duvidosa) dele é de que ele tenha usado uma enorme variedade de espelhos para queimar os navios romanos que cercavam Siracusa; que ele disse: “Dê-me um lugar para ficar e eu moverei a Terra”; e que um soldado romano o matou porque ele se recusou a deixar seus diagramas matemáticos. Essas histórias dele é um reflexo popular do interesse dele pela catóptrica (ramo da ótica que trata da reflexão da luz), mecânica e matemática pura.

De acordo com o filosofo grego Plutarco (c. 46-119 dC), o Arquimedes tinha uma visão mais simples sobre o tipo de invenção prática em que se destacava e à qual delas devia a sua fama contemporânea, pois não deixou nenhum trabalho escrito sobre esses assuntos.

Todos os trabalhos conhecidos de Arquimedes eram de caráter teórico e o seu interesse pela mecânica influenciou ele profundamente em seu pensamento matemático. Ele não apenas escreveu trabalhos sobre mecânica teórica e hidrostática, mas sua denominada Método dos Teoremas Mecânicos mostra que ele usava o raciocínio mecânico como um dispositivo heurístico para a descoberta de novos teoremas matemáticos. Alem disso, o Arquimedes de Siracusa desempenhou um papel importante na defesa de Siracusa contra o cerco estabelecido pelos romanos em 213 a.C, construindo máquinas de guerra tão eficazes que atrasaram muito a captura da cidade. Quando Siracusa acabou caindo para o general romano Marcus Claudius Marcellus no outono de 212 ou primavera de 211 aC, Arquimedes foi morto no saque da cidade.

Sistema de defesa formado por espelhos que foi projetado por Arquimedes para incendiar os navios de guerra romanos durante o cerco de Siracusa.

Naquele ano, ele estava trabalhando em um problema de matemática quando um soldado romano se aproximou dele e ordenou que ele fosse se encontrar com o general romano, mas ele se recusou e foi morto pelo soldado que ficou furioso com a atitude de Arquimedes.

Trabalhos de Arquimedes

 

Existem nove tratados existentes de Arquimedes em grego. Os principais resultados foram no tratado da esfera e do cilindro, dividido em dois livros, que diz que a área da superfície de qualquer esfera de raio r é quatro vezes maior que a de seu maior círculo, sendo isso dado por:

$S=4\pi {{r}^{2}}$

Além disso, esse tratado também diz que o volume de uma esfera é dois terços do cilindro em que está inscrito, sendo isso dado por

$V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$

Em seu tratato sobre conóides e esferóides, Arquimedes fala sobre a determinação dos volumes dos segmentos de sólidos formados pela revolução de uma seção cônica (círculo, elipse, parábola ou hipérbole) em torno de seu eixo.

Já nos seu tratado de espirais, Arquimedes desenvolve muitas propriedades de tangentes e áreas associadas com a espiral de Arquimedes, que é basicamente o local geométrico de um ponto que se move com velocidade uniforme ao longo de uma linha reta que está girando com velocidade uniforme em torno de um ponto fixo . Esse conceito basicamente era é uma das poucas curvas além da linha reta e das seções cônicas conhecidas na antiguidade.

Arquimedes em seu tratado sobre o equilíbrio dos planos (Centros de Gravidade dos Planos) , que é uma obra que foi dívida em dois livros, ele estabelece os centros de gravidade de diversas figuras planas retilíneas e segmentos da parábola e do paraboloide. No primeiro livro, ele estabeleceu a “lei da alavanca” que diz que uma força aplicada em uma das extremidades de uma alavanca é inversamente proporcional à distância do ponto de apoio, ou seja, se pegarmos como exemplo um barra rígida, “uma alavanca “, apoiada no ponto 0 tendo um corpo de peso F2 suspenso em uma de suas extremidades, podemos equilibrar o corpo de F2 se na outra extremidade da barra aplicarmos uma força F1 tal que:

F 1 d 1 = F 2 d 2

Esse tratado fez com que Arquimedes fosse chamado de fundador da mecânica teórica, mas boa desse livro não é autentico, pois o mesmo passou por ineptas adições ou reformulações posteriores, e alguns arqueologos acreditam que o princípio básico da lei da alavanca e o conceito de centro de gravidade tenha sido estabelecido em uma base matemática por estudiosos anteriores a Arquimedes. Sendo a principal contribuição de Arquimedes estender esses conceitos às seções cônicas.

Exemplo da lei da alavanca que geralmente é colocado em livros do ensino fundamental e médio.

No tratado da quadratura da parábola, Arquimedes usou conceitos de mecanica e de geometria para demostrar que a área de qualquer segmento de uma parábola é 4/3 da área do triângulo que tem a mesma base e altura como esse segmento. Ele usou a lei da alavanca e admitiu ser verdadeiro o resultado de seu calculo e por dupla redução, provou sua veracidade.

O tratado do contador de areia foi uma de suas primeiras suas publicações é um pequeno tratado que é uma especie de jogo mental para leigos que foi dirigido a Gelon II, filho de Hieron II. A proposta desse tratado era reparar as incoerencias do sistema de notação numérica grego, mostrando como expressar um número enorme como o número de grãos de areia que seriam necessários para preencher todo o universo.

A ideia de Arquimedes era criar um sistema de notação de valor posicional, com uma base de 100.000.000, e isso até que foi uma boa ideia para época, já que ele não tinha conhecimento do sistema de valor de lugar babilônico contemporâneo com base 60. Além disso, o trabalho tambem estima tamanho do Universo que era conhecido naquele período. 

Esse trabalho é muito interessante pois fornece uma descrição mais detalhada do sistema heliocêntrico de Aristarco de Samos ( c. 310-230 aC), que foi algo que posteriormente também influciou nos trabalhos de copernico a cerca de dois milênios depois. Nesse trabalho, o Arquimedes usou um procedimento engenhoso para determinar o diâmetro aparente do Sol por observação com um instrumento.

Retrato de Aristarco de Samos

O Método dos Teoremas Mecânicos descreve um processo de descoberta na matemática. Esse método é a única obra sobrevivente da antiguidade, e uma das poucas de qualquer período, que trata desse tema. Nele, Arquimedes conta como ele usou um método “mecânico” para chegar a algumas de suas principais descobertas, incluindo a área de um segmento parabólico, a área de superfície e o volume de uma esfera.

Essa técnica consiste em dividir cada uma das duas figuras em um número infinito, mas igual, de tiras infinitesimalmente finas e, em seguida, “pesar” cada par correspondente dessas tiras uma contra a outra em um valor nocional.

O tratado dos corpos flutuantes (dividido em dois livros) sobreviveu apenas parcialmente em grego, o restante na tradução latina medieval do grego. Esse foi o primeiro trabalho conhecido sobre hidrostática, do qual Arquimedes é reconhecido como o fundador. Sua finalidade é determinar as posições que vários sólidos assumirão ao flutuar em um fluido, de acordo com sua forma e a variação de suas gravidades específicas. 

No primeiro livro são estabelecidos vários princípios gerais, notadamente o que veio a ser conhecido como princípio de Arquimedes: um sólido mais denso que um fluido será, quando imerso nesse fluido, mais leve pelo peso do fluido que ele desloca.

Empuxo em corpos submersos e flutuantes (Streeter,1978)

O segundo livro é um tour de force matemático inigualável na antiguidade e raramente igualado desde então. Nele Arquimedes determina as diferentes posições de estabilidade que um parabolóide direito de revolução assume ao flutuar em um fluido de maior gravidade específica, de acordo com variações geométricas e hidrostáticas.

Arquimedes é conhecido, a partir de referências de autores posteriores, por ter escrito várias outras obras que não sobreviveram. De particular interesse são os tratados sobre catóptrica, nos quais ele discutiu, entre outras coisas, o fenômeno da refração; nos 13 poliedros semiregulares (arquimedianos) (aqueles corpos delimitados por polígonos regulares, não necessariamente todos do mesmo tipo, que podem ser inscritos em uma esfera); e o “Problema do Gado” (preservado em um epigrama grego), que coloca um problema de análise indeterminada, com oito incógnitas. 

Além dessas, sobrevivem várias obras em tradução árabe atribuídas a Arquimedes que não podem ter sido compostas por ele em sua forma atual, embora possam conter elementos “arquimedianos”.

Isso inclui um trabalho sobre a inscrição do heptágono regular em um círculo; uma coleção de lemas (proposições assumidas como verdadeiras que são usadas para provar um teorema) e um livro, On Touching Circles, ambos relacionados à geometria plana elementar; e o Stomachion (partes do qual também sobrevivem em grego), tratando-se de um quadrado dividido em 14 peças para um jogo ou quebra-cabeça.

As provas matemáticas e a apresentação de Arquimedes exibem grande ousadia e originalidade de pensamento por um lado e extremo rigor por outro, atendendo aos mais altos padrões da geometria contemporânea. Enquanto o Método mostra que ele chegou às fórmulas para a área da superfície e o volume de uma esfera por raciocínio “mecânico” envolvendo infinitesimais, em suas provas reais dos resultados em Esfera e Cilindro ele usa apenas os métodos rigorosos de aproximação finita sucessiva que foi inventado por Eudoxo de Cnido no século 4 aC.

Esses métodos, dos quais Arquimedes era mestre, são o procedimento padrão em todos os seus trabalhos de geometria superior que tratam de provar resultados sobre áreas e volumes. Seu rigor matemático contrasta fortemente com as “provas” dos primeiros praticantes do cálculo integral no século XVII, quando os infinitesimais foram reintroduzidos na matemática. No entanto, os resultados de Arquimedes não são menos impressionantes que os deles. A mesma liberdade das formas convencionais de pensar é aparente no campo aritmético em Sand-Reckoner, que mostra uma profunda compreensão da natureza do sistema numérico.

Na antiguidade, Arquimedes também era conhecido como um astrônomo notável: suas observações de solstícios foram usadas por Hiparco (floresceu por volta de 140 aC), o principal astrônomo antigo. Muito pouco se sabe deste lado da atividade de Arquimedes, embora Sand-Reckoner revele seu grande interesse astronômico e capacidade de observação prática.

Hiparco em seu observatório em Alexandria

No entanto, foi transmitido um conjunto de números atribuídos a ele, fornecendo as distâncias dos vários corpos celestes da Terra, que se mostraram baseados não em dados astronômicos observados, mas em uma teoria “pitagórica” que associa os intervalos espaciais entre os planetas com intervalos musicais. Por mais surpreendente que seja encontrar essas especulações metafísicas no trabalho de um astrônomo praticante, há boas razões para acreditar que sua atribuição a Arquimedes está correta.

Arquimedes era um cara tão preocupado com o progresso da matemática que ele pediu para que deixassem as instruções de sua última descoberta em seu tumulo, que foi marcado com uma esfera inscrita em um cilindro. Marcus Tullius Cicero (106–43 aC) encontrou o túmulo, coberto de vegetação, um século e meio após a morte de Arquimedes.

A medida do círculo é um fragmento de um trabalho mais longo em que π (pi), a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, está entre os limites de 3 10/71 e 3 1/7. A abordagem de Arquimedes para determinar π, que consiste em inscrever e circunscrever polígonos regulares com um grande número de lados, foi seguida por todos até o desenvolvimento de expansões em série infinita na Índia durante o século XV e na Europa durante o século XVII. Esse trabalho também contém aproximações precisas (expressas como razões de números inteiros) para as raízes quadradas de 3 e vários números grandes.

Impacto Produzido na Matemática pelos seus trabalhos

A matematica de Arquimedes teve um impacto relativamente pequeno na antiguidade, mas as suas fórmulas para a área da superfície e o volume de uma esfera ainda estão bem presentes na nossa matematica moderna. Além disso, o limite que ele estabeleceu para π , 22/7, era bastante utilizado na antiguidade e na idade média.

Os trabalhos matematicos de Arquimedes não foram continuados ou desenvolvidos por outros matematicos da época, sendo que isso poderia ser algo que pudesse resulta em novas descobertas na área da matematica.

No entanto, os seus trabalhos foram continuados após os seus tratados serem traduzidos para o árabe no final do século VIII ou IX, sendo que vários matemáticos do Islã medieval foram inspirados a igualar ou melhorar suas realizações.

Esses matemáticos do Islã medieval estavam inicialmente focados nos trabalhos de geometria de Arquimedes sobre a determinação do volume de solidos, e isso os motivou a começar a ver os trabalhos sobre a determinação de centros de gravidade e em problemas de construção geométrica, logo pode se dizer que varios trabalhos desses matemáticos foram inspirados em Arquimedes.

Além disso, o maior impacto dos trabalhos de Arquimedes ocorreu durante os século 16 e 17 após a impressão de textos derivados do grego e, eventualmente, do próprio texto grego, a Editio Princeps, em Basileia em 1544. As primeiras traduções latina das Obras de Arquimedes ocorreram em 1558 e foram feitas pelo italiano Federico Commandino em Roma. Esse trabalho de Commandino fez com que as obras de Arquimedes influenciassem grandes matemáticos e físicos da época em seus estudos, incluindo Johannes Kepler e Galileo Galilei.

Retrato de Federico Commandino

Além disso, uma tradução completa das obras de Arquimedes foi feita pelo francês David Rivault em 1615. Essa tradução de Rivault também incluía os antigos comentários que Arquimedes fez em suas obras, e essas informações influenciaram bastante no trabalho de René Descartes e Pierre de Fermat.

O redescobrimento dos trabalhos de Arquimedes foi algo primordial para o desenvolvimento da matemática na Europa entre 1550 e 1650, pois sem esses achados de Arquimedes, os matemáticos árabes e renascentistas teriam um pouco mais de dificuldade no desenvolvimento de seus trabalhos acadêmicos.

Referências

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• https://www.engquimicasantossp.com.br/2015/05/empuxo-principio-de-arquimedes.html ( acessado em 21/08/2022 as 18:19)
• https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/ ( acessado em 21/08/2022 as 18:43)
• https://www.ducksters.com/history/ancient_greece/archimedes.php ( acessado em 05/09/2022 as 19:11)
• https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Commandino/ ( acessado em 08/09/2022 as 21:00)
• https://www.ancienthistorylists.com/people/top-contributions-archimedes/ ( acessado em 09/09/2022 as 21:09)
• https://engelsbergideas.com/notebook/eureka-whats-the-truth-about-archimedes-cry/ ( acessado em 09/09/2022 as 21:21)
• https://www.bbc.com/portuguese/curiosidades-55768716 ( acessado em 10/09/2022 as 19:04)
• Mecânica dos Fluidos, Victor L. Streeter, Editora McGraw-Hill do Brasil, Recife, Pernambuco, 1978
• https://sites.google.com/site/matematicaeureka/aplicacoes-na-fisica-e-matematica-com-enfase-no-principio-de-arquimedes/a-quadratura-da-parabola ( acessado em 13/09/2022 as 21:04)
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• https://www2.hao.ucar.edu/education/scientists/aristarchus-of-samos-310-230-bc ( acessado em 27/12/2022 as 19:18)
• Sacred Geometry, Deciphering the Code, Stephen Skinner, 2009.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)