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O objetivo do estudo das integrais é encontrar a primitiva de uma função. Sendo esse processo chamado de antiderivação ou integral indefinida, que é definido pela seguinte equação:
Sendo
- ∫ = é o símbolo da integração
- f(x) = é o integrando;
- F(x) = é uma função primitiva
- C = é uma constante
- dx = é o diferencial de x o qual indica que a primitiva dever ser calculada em relação à variável x
Exemplo de Exercício Resolvido da integral indefinida
$a)f\left( x \right)={{x}^{2}}+3\Rightarrow
\int{{{x}^{2}}+3~~dx}$
$\Rightarrow \frac{{{x}^{2+1}}}{2+1}+3x~+C=\frac{{{x}^{3}}}{3}+3x+C$
Observação a primitiva de uma função não é única
Por exemplo:
Por isso, expressamos a primitiva assim $F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}+3x+C$, onde C é a constante.
$b)f\left( x \right)=2x\Rightarrow \int{2x~}~dx\Rightarrow $
$\Rightarrow \int{\frac{2{{x}^{1+1}}}{2}}+C={{x}^{2}}+C$
$\Rightarrow \frac{{{x}^{2+1}}}{2+1}+3x~+C=\frac{{{x}^{3}}}{3}+3x+C$
Observação a primitiva de uma função não é única
Por exemplo:
Por isso, expressamos a primitiva assim $F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}+3x+C$, onde C é a constante.
Mais Exemplos de Exercícios Resolvidos de Integrais Indefinidas
$b)f\left( x \right)=2x\Rightarrow \int{2x~}~dx\Rightarrow $
$\Rightarrow \int{\frac{2{{x}^{1+1}}}{2}}+C={{x}^{2}}+C$
$c)f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{4}}}\Rightarrow \int{{{x}^{-4}}}~~dx\Rightarrow $
$\Rightarrow \int{\frac{{{x}^{-4+1}}}{-4+1}+C}\Rightarrow \frac{{{x}^{-3}}}{-3}+C=-\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C$
$d)f\left( x \right)=\sqrt{2x}\Rightarrow \int{\sqrt{2}.\sqrt{x}}~dx\Rightarrow $
$\Rightarrow \sqrt{2}\int{\frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}+C\Rightarrow }\sqrt{2}.\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C\Rightarrow $
$\Rightarrow \sqrt{2}.\frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{3}+C=\frac{2\sqrt{2{{x}^{3}}}}{3}+C$
$e)f\left( x \right)=\frac{1}{x}\Rightarrow \int{\frac{1}{x}}~~dx=\ln \left( x \right)+C$
Vide: Tabela de Integrais Elementares
$f)f\left( x \right)={{e}^{x}}+x\Rightarrow \int{{{e}^{x}}+x~~dx\Rightarrow }$
$\Rightarrow \int{{{e}^{x}}+\frac{{{x}^{1+1}}}{1+1}~~+C=}~~{{e}^{x}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}~~+C$
Vide: Tabela de Integrais Elementares
Veja a nossa postagem de exercícios resolvidos de integral indefinida
$\Rightarrow \int{\frac{{{x}^{-4+1}}}{-4+1}+C}\Rightarrow \frac{{{x}^{-3}}}{-3}+C=-\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C$
$d)f\left( x \right)=\sqrt{2x}\Rightarrow \int{\sqrt{2}.\sqrt{x}}~dx\Rightarrow $
$\Rightarrow \sqrt{2}\int{\frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}+C\Rightarrow }\sqrt{2}.\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C\Rightarrow $
$\Rightarrow \sqrt{2}.\frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{3}+C=\frac{2\sqrt{2{{x}^{3}}}}{3}+C$
$e)f\left( x \right)=\frac{1}{x}\Rightarrow \int{\frac{1}{x}}~~dx=\ln \left( x \right)+C$
Vide: Tabela de Integrais Elementares
$f)f\left( x \right)={{e}^{x}}+x\Rightarrow \int{{{e}^{x}}+x~~dx\Rightarrow }$
$\Rightarrow \int{{{e}^{x}}+\frac{{{x}^{1+1}}}{1+1}~~+C=}~~{{e}^{x}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}~~+C$
Vide: Tabela de Integrais Elementares
Veja a nossa postagem de exercícios resolvidos de integral indefinida
Referências
- Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
- Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Professor Lucio, UNISANTA, Santos, São Paulo, 2010.
Sobre o autor
Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean
Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.
0 Comentários de "Integral Indefinida: Exemplos de Exercícios Resolvidos "
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