Determinando o Limite de uma Função

A definição de limite é usada com o intuito de expor o comportamento de uma função nos momentos de aproximação de determinados valores. O limite de uma função possui grande importância no Cálculo Integral e Diferencial e em outros ramos da análise matemática. 

Dizemos que uma função f(x) tem um limite A, quando x tem a tendência (→) de se igualar ao valor de A (x → a), sendo a o valor mais próximo de A, logo:
determinando limite funçao

Determinando o Limite de uma Função:


$1)\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}-3x+4)={{(-2)}^{2}}-3.(-2)+4=14$

$2)\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,(1-{{x}^{3}})=1-{{(-1)}^{3}}=2$

Propriedades de limite



1) O limite da soma é soma dos limites


$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ (f+g)(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)+\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)$

Exemplos:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{x}^{2}}+3{{x}^{2}} \right]=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}} \right)+\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(3{{x}^{2}})=1+3=4$

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ 4{{x}^{2}}+3x \right]=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 4{{x}^{2}} \right)+\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(3x)=4+3=7$


2) O limite da diferença é a diferença dos limites.


$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ (f-g)(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)-\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)$

Exemplos:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{x}^{2}}-3{{x}^{2}} \right]=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}} \right)-\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(3{{x}^{2}})=1-3=-2$

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ 4{{x}^{2}}-3x \right]=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 4{{x}^{2}} \right)-\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(3x)=4-3=1$


3) O limite dos produto é o produto dos limites


$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ (f.g)(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x).\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)$

Exemplos:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ (3{{x}^{2}}.{{x}^{2}}) \right]=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(3{{x}^{2}}).\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}})=(3).(1)=3$

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ (4{{x}^{2}}.3x) \right]=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(4{{x}^{2}}).\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(3x)=(4).(3)=12$

4) O limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o denominador não seja zero.


$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ \left( \frac{f}{g} \right).\left( x \right) \right]=\frac{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)~}{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)}$

Exemplo:

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{\cos x}{{{\text{x}}^{2}}+1} \right]=\frac{\underset{x\to 0}{\mathop{\text{ }\!\!~\!\!\text{ lim}}}\,\left( \cos x \right)~~}{\underset{x\to 0}{\mathop{\text{ }\!\!~\!\!\text{ lim}}}\,\left( \text{x}{}^\text{2}+1 \right)~~}=~\frac{\underset{x\to 0}{\mathop{\text{ }\!\!~\!\!\text{ lim}}}\,\left( \cos x \right)~~}{\underset{x\to 0}{\mathop{\text{ }\!\!~\!\!\text{ lim}}}\,\left( \text{x}{}^\text{2}+1 \right)~~}=\frac{\cos 0~}{0{}^\text{2}+1~~}~=\frac{1}{1}=1$

Quando o denominador é igual à zero


Exemplo:

$\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{{{\text{x}}^{2}}-4x-5}{2\text{x}-10} \right]=\frac{\underset{x\to 5}{\mathop{\text{ }\!\!~\!\!\text{ lim}}}\,\left( {{\text{x}}^{2}}-4x-5 \right)~}{\underset{x\to 5}{\mathop{\text{ }\!\!~\!\!\text{ lim}}}\,\left( 2\text{x}-10 \right)~~}=~\frac{{{5}^{2}}-4.\left( 5 \right)-5}{2.\left( 5 \right)-10}=\frac{~0~}{0}$

Limite indeterminado

Se um polinômio se anula para x = a então ele é divisível por x –a , logo pode ser divido usando o dispositivo prático de Briot Ruffini.

x-a = 0 → x-5 =0 → x= 5

Dividindo  x2 -4x – 5
divisão por briot ruffini equação 1

Dividindo 2x -10
divisão por briot ruffini equação 2

$\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-5 \right).(x+1)}{\left( x-5 \right).(2)}~=~~\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+1)}{(2)}=\frac{(5+1)}{(2)}=~\frac{6}{2}=3$


5) Limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função


$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{\left[ f(x) \right]}^{n}}={{\left( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x) \right] \right)}^{n}}$

Exemplo:


$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{({{x}^{2}}+3)}^{2}}={{\left( \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+3) \right)}^{2}}={{(1+3)}^{2}}=16$


6) Limite de uma raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função


$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x) \right]}$

Exemplo:

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1}=\sqrt{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1}=\sqrt{{{2}^{3}}+{{2}^{2}}-1}=\sqrt{11}$

Calculando derivadas por limite


definição:


$f'(x)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Exemplos:

a) f(x) = x²

Substituindo x por (x+h)

f(x+h) = (x + h)² = x² + 2xh + h²

f(x+h) – f(x) = (x² + 2xh + h²) – (x²) = 2xh + h²

Substitui-se o f(x+h) – f(x) na equação
${f}'(x)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2xh+{{h}^{2}}}{h}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,2x+h=2x$

$f'(x)=2x$

b) f(x) = 2x + 4

Substituindo x por (x+h)

f(x+h) = 2(x + h) + 4 = 2x + 2h + 4

f(x+h) – f(x) = (2x + 2h + 4) – (2x+4) = 2h

Substitui-se o f(x+h) – f(x) na equação

$f'(x)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2h}{h}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,2=2$

$f'(x)=2$

Referências


Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança no trabalho e técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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