Exercícios resolvidos de Limites – Parte 2

POR Pedro Coelho

Publicado: sexta-feira, 6 de maio de 2016

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Nessa postagem, eu estarei resolvendo a tão esperada parte 2 da lista de exercícios de limites, para a alegria do pessoal! =)

Caso você não tenha visto a parte 1 da lista, segue o link abaixo:

• https://www.engquimicasantossp.com.br/2016/03/exercicios-resolvidos-de-limites-parte-1.html

Continuação dos Exercícios de Limites

1) Calcule os limites:

$11)\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}$

Resolução:

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}.\frac{\left( 1+\sqrt{1-x} \right)}{\left( 1+\sqrt{1-x} \right)}\Rightarrow$

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}-{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{2}}}{x.\left( 1+\sqrt{1-x} \right)}\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x.\left( 1+\sqrt{1-x} \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1+\sqrt{1-0}}=\frac{1}{2}$

$12)\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\sqrt{10-x}}{{{x}^{2}}-1}$

Resolução:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\sqrt{10-x}}{{{x}^{2}}-1}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 3-\sqrt{10-x} \right)}{\left( x+1 \right).\left( x-1 \right)}.\frac{\left( 3+\sqrt{10-x} \right)}{\left( 3+\sqrt{10-x} \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 9+3\sqrt{10-x}-3\sqrt{10-x}-{{\left( \sqrt{10-x} \right)}^{2}} \right)}{\left( x+1 \right).\left( x-1 \right).\left( 3+\sqrt{10-x} \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{9-{{\left( \sqrt{10-x} \right)}^{2}}}{\left( x+1 \right).\left( x-1 \right).\left( 3+\sqrt{10-x} \right)}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)}{\left( x+1 \right).\left( x-1 \right).\left( 3+\sqrt{10-x} \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( x+1 \right).\left( 3+\sqrt{10-x} \right)}=\frac{1}{\left( 1+1 \right).\left( 3+\sqrt{10-1} \right)}=\frac{1}{12}$

$13)\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-9}$

Resolução:

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-9}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\sqrt{x+1}}{\left( x+3 \right).\left( x-3 \right)}.\frac{\left( 2+\sqrt{x+1} \right)}{\left( 2+\sqrt{x+1} \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{4+2\sqrt{x+1}-2\sqrt{x+1}-{{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{2}}}{\left( x+3 \right).\left( x-3 \right).\left( 2+\sqrt{x+1} \right)}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-x-1}{\left( x+3 \right).\left( x-3 \right).\left( 2+\sqrt{x+1} \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\left( x-3 \right)}{\left( x+3 \right).\left( x-3 \right).\left( 2+\sqrt{x+1} \right)}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{\left( x+3 \right).\left( 2+\sqrt{x+1} \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{-1}{\left( 3+3 \right).\left( 2+\sqrt{3+1} \right)}=-\frac{1}{24}$

$14)\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-2}{{{x}^{2}}-3x+2}$

Resolução:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-2}{{{x}^{2}}-3x+2}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-2}{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}.\frac{\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}{\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-2}{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}.\frac{\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}{\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \sqrt{x+3} \right)}^{2}}+2\left( \sqrt{x+3} \right)-2\left( \sqrt{x+3} \right)-4}{\left( x-1 \right).\left( x-2 \right).\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}\Rightarrow$

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3-4}{\left( x-1 \right).\left( x-2 \right).\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right).\left( x-2 \right).\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( x-2 \right).\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}\Rightarrow \frac{1}{\left( 1-2 \right).\left( \sqrt{1+3}+2 \right)}=-\frac{1}{4}$

$15)\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{{{x}^{2}}-9}$

Resolução:

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{{{x}^{2}}-9}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{3-x}{3x}}{\left( x+3 \right).\left( x-3 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{-\left( x-3 \right)}{3x}}{\left( x+3 \right).\left( x-3 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{-1}{3x}}{\left( x+3 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{-\frac{1}{3\left( 3 \right)}}{\left( 3+3 \right)}=\frac{-\frac{1}{9}}{6}=-\frac{1}{9}.\frac{1}{6}=-\frac{1}{54}$

$16)\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{2x-4}$

Resolução:

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{2x-4}\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{2-x}{2x}}{2.\left( x-2 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{-\left( x-2 \right)}{2x}}{2.\left( x-2 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{-1}{2x}}{2}\Rightarrow \frac{-1}{2.\left( 2 \right)}.\frac{1}{2}=-\frac{1}{8}$

$17)\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+x}-2}{x-3}$

Resolução:

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+x}-2}{x-3}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{1+x}-2 \right)}{\left( x-3 \right)}.\frac{\left( \sqrt{1+x}+2 \right)}{\left( \sqrt{1+x}+2 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \sqrt{1+x} \right)}^{2}}+2\left( \sqrt{1+x} \right)-2\left( \sqrt{1+x} \right)-4}{\left( x-3 \right).\left( \sqrt{1+x}+2 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \sqrt{1+x} \right)}^{2}}-4}{\left( x-3 \right).\left( \sqrt{1+x}+2 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-3 \right)}{\left( x-3 \right).\left( \sqrt{1+x}+2 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( \sqrt{1+x}+2 \right)}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( \sqrt{1+3}+2 \right)}=\frac{1}{\left( 2+2 \right)}=\frac{1}{4}$

$18)\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+5x+4}{{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+5x+2}$

Resolução:

$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+5x+4}{{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+5x+2}\Rightarrow \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( -1 \right)}^{4}}-{{\left( -1 \right)}^{3}}-{{\left( -1 \right)}^{2}}+5\left( -1 \right)+4}{{{\left( -1 \right)}^{3}}+4{{\left( -1 \right)}^{2}}+5\left( -1 \right)+2}=\frac{0}{0}$

Indeterminado.

Se um polinômio se anula para x = a, então ele é divisível por x –a , logo, pode ser dividido usando o dispositivo prático de Briot Ruffini, lembrando que “a” nesse caso é o “x” do limite!

x-a = 0 → x-(-1)=0 → x=-1

$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+1).\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+4 \right)}{(x+1).\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}\Rightarrow \frac{{{\left( -1 \right)}^{3}}-2{{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( -1 \right)+4}{{{\left( -1 \right)}^{2}}+2\left( -1 \right)+2}\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{-1-2-1+4}{+1-2+2}=\frac{0}{1}$

Indeterminado.

Aplicando Briot Ruffini novamente:

$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right).\left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)}{\left( x+1 \right).\left( x+2 \right)}\Rightarrow \frac{{{\left( -1 \right)}^{2}}-3\left( -1 \right)+4}{-1+2}=8$

Postagem em formato de vídeo

Para a turma que não está muito afim de ler, segue o link da postagem em formato de vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=BkGjgy4qc_U

Referências

• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011. 
• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Prof. Fernando, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)