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Equação vetorial paramétrica do plano: Exercícios Resolvidos

O conceito de plano foi introduzido pelos matemáticos da antiguidade que representavam um plano como um ente primitivo geométrico infinito a duas dimensões.

Retrato euclides alexandria filosofia matemático
Retrato do filósofo e matemático Euclides de Alexandria

O filosofo e matemático Euclides de Alexandria disse que por três pontos distintos e não alinhados, passa um e somente um plano, logo para definir a equação vetorial paramétrica da plano consideremos figura abaixo e vamos chamar esse plano de α.

Dedução equação vetorial paramétrica plano

Esse plano α apresenta infinitos outros planos e digamos que um deles é x, logo poderemos afirmar que os vetores x-A, B-A, e C-A estão contidos no mesmo plano.
Dedução equação vetorial paramétrica plano

Sendo esses vetores coplanares, logo um desses vetores pode ser expresso em função dos outros dois.

Dedução equação vetorial paramétrica plano

A Equação vetorial paramétrica do plano é expressa por:

Equação vetorial paramétrica do plano

Exemplos de exercícios resolvidos


1) Escreva caso possível a equação geral do plano α que passa em:

A = (1,1,1)
B = (3,-6,2)
C = (2,5,-1)

Resolução

Montando os vetores

$\overrightarrow{AB}=\left( B-A \right)=\left( 3,-6,2 \right)-\left( 1,1,1 \right)=\left( 2,-7,1 \right)$

$\overrightarrow{AC}=\left( C-A \right)=\left( 2,5,-1 \right)-\left( 1,1,1 \right)=\left( 1,4,-2 \right)$

$\overrightarrow{Ax}=\left( x-A \right)=\left( x,y,z \right)-\left( 1,1,1 \right)=\left( x-1,y-1,z-1 \right)$

Aplicando a regra de Sarrus

Matriz e Regra de Sarrus


$\left( 14.\left( x-1 \right)+1.\left( y-1 \right)+8.\left( z-1 \right) \right)-\left( -4\left( y-1 \right)+4\left( x-1 \right)-7\left( z-1 \right) \right)=0\Rightarrow $

$\left( 10.\left( x-1 \right)+5.\left( y-1 \right)+15.\left( z-1 \right) \right)=0\Rightarrow $

$=10x-10+5y-5+15z-15=0\Rightarrow 10x+5y+15z=30\Rightarrow $

Dividindo por 5

$2x+y+3z=6$

2) Escreva a equação do plano que tem os pontos A = (1,1,-1), B = (2,2,0), e C = (0,6,2)

Resolução

Montando os vetores

$\overrightarrow{AB}=\left( B-A \right)=\left( 2,2,0 \right)-\left( 1,1,-1 \right)=\left( 1,1,1 \right)$

$\overrightarrow{AC}=\left( C-A \right)=\left( 0,6,2 \right)-\left( 1,1,-1 \right)=\left( -1,5,3 \right)$

$\overrightarrow{Ax}=\left( x-A \right)=\left( x,y,z \right)-\left( 1,1,-1 \right)=\left( x-1,y-1,z+1 \right)$

Aplicando a regra de Sarrus

Matriz e Regra de Sarrus

$\left( 3.\left( x-1 \right)-1.\left( y-1 \right)+5.\left( z+1 \right) \right)-\left( 3\left( y-1 \right)+5\left( x-1 \right)-1\left( z+1 \right) \right)=0\Rightarrow $

$\left( -2.\left( x-1 \right)-4.\left( y-1 \right)+6.\left( z+1 \right) \right)=0\Rightarrow -2x+2-4y+4+6z+6=0\Rightarrow $

$\Rightarrow -2x-4y+6z=-12$

Dividindo por -2

$x+2y-3z=6$

Referências

 
  • Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
  • Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra linear, Sergio R. Lara, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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