Regra de Cramer 2×2 e 3x3: Exercícios Resolvidos

POR Pedro Coelho

Publicado: segunda-feira, 16 de maio de 2022

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Desenvolvido por Gabriel Cramer em 1750, a regra de Cramer é uma fórmula que é usada para resolver um sistema de equações lineares contendo tantas equações quanto incógnitas, eficiente sempre que o sistema de equações tiver uma única solução.

Essa fórmula é geralmente usada para obter a solução para o sistema de equações dado formado por meio de matrizes. A solução obtida usando a regra de Cramer será em termos dos determinantes da matriz de coeficientes e das matrizes obtidas substituindo uma coluna pelo vetor coluna dos lados direitos das equações.

Definição da Regra de Cramer

A regra de Cramer é um importante método que é usado para resolver um sistema de equações. Neste método, os valores das variáveis do sistema devem ser calculados usando os determinantes das matrizes. Assim, a regra de Cramer também é conhecida como método dos determinantes.

A fórmula dessa regra considera um sistema de equações lineares com n variáveis x₁, x₂, x₃, …, xₙ escritas na forma matricial AX = B.

Sendo:

• A = Matriz de coeficientes (deve ser uma matriz quadrada)
• X = Matriz de colunas com variáveis
• B = Matriz coluna com as constantes (que estão no lado direito das equações)

Logo temos que encontrar determinantes como:

D = |A|, Dx₁, Dx₂, Dx₃,…, Dx_n

O Dxi para i = 1, 2, 3,…, n é o mesmo determinante que D, tal que a coluna é substituída por B.

Por isso,

x1 = Dx₁/D; x₂ = Dx₂/D; x₃ = Dx₃/D; ….; x_n = Dx_n/D {onde D não é igual a 0}

A seguir você vai dar uma olhada nas fórmulas da regra de Cramer para matrizes 2×2 e 3×3.

Regra de Cramer 2×2

A regra de Cramer para a matriz 2×2 é aplicada para resolver o sistema de equações em duas variáveis.

Consideremos duas equações lineares em duas variáveis.

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

Escrevendo essas duas equações na forma de AX = B.

Sendo:

Logo:

x = Dx/D

y = Dy/D

Exemplo de Exercício aplicando Regra de Cramer – 2×2

1 ) Resolva o seguinte sistema de equações usando a regra de Cramer:

2x – y = 5

x + y = 4

Resolução:

Escrevendo as equações na forma AX = B.

Sendo:

Logo:

x = Dx/D = 9/3 = 3

y = Dy/D = 3/3 = 1

2 ) Resolva o seguinte sistema de equações usando a regra de Cramer:

x + y = 21

4x + 2y = 66

Resolução:

Escrevendo as equações na forma AX = B.

Sendo:

Logo:

x = Dx/D = -24/-2 = 12

y = Dy/D = -18/-2 = 9

Regra de Crammer 3×3

Para encontrar a fórmula da regra de Cramer para uma matriz 3×3, precisamos considerar o sistema de 3 equações com três variáveis.

Considerando:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Escrevendo as equações na forma AX = B.

Sendo:

Logo:

x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D; D ≠ 0

Exemplos de Exercícios aplicando Regra de Cramer – 3×3

1)Resolva o seguinte sistema de equações usando a regra de Cramer:

x + y + z =6

y + 3z = 11

x – 2y + z = 0

Resolução:

Escrevendo essas equações na forma AX = B.

Calculando os determinantes aplicando regra de sarrus:

Logo:

x = Dx/D = 9/9 = 1

y = Dy/D = 18/9 = 2

z = Dz/D = 27/9 = 3

2) Determine o conjunto solução do sistema

x + 2y +z = 6

2x +y -4z = 3

x + y + z =5

Escrevendo essas equações na forma AX = B.

Calculando os determinantes aplicando regra de sarrus:

Logo:

x = Dx/D = -18/-6 = 3

y = Dy/D = -6/-6 = 1

z = Dz/D = -6/-6 = 1

Condições da Regra de Cramer

Existem certas condições para aplicar a regra de Cramer para resolver o sistema de equações dado. Alguns deles incluem o seguinte:

• A regra de Cramer não funciona para o sistema de equações em que D = 0, pois para encontrar os valores das incógnitas, D deve estar no denominador e, portanto, esses valores ficam indefinidos. Além disso, quando D = 0, haverá duas possibilidades para as quais o sistema pode não ter solução.
• O sistema pode ter um número infinito de soluções, logo podemos dizer que pelo menos um dos determinantes do numerador é 0 (o que significa infinitas soluções) ou nenhum dos determinantes do numerador é 0 (o que significa que não há solução).
• Se D ≠ 0, dizemos que o sistema AX = B tem uma única solução, logo a regra de Cramer nos ajuda a determinar se o sistema dado tem “nenhuma solução” ou “número infinito de soluções”, usando os determinantes que calculamos para aplicar a regra.

Referências

• https://byjus.com/maths/cramers-rule/ (acessado em 12/05/2022 as 08:11)
• Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de Tópicos de Mátematica, Me. Adilson Simões, São Paulo,2022.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)