Métodos de Euler e Runge Kutta

Nessa postagem, eu vou abordar alguns métodos, para a resolução numérica de equações diferenciais, e dentre esses métodos, eu vou falar um pouco sobre o método de Euler, método de Euler aperfeiçoado (modificado) e o método de Runge-Kutta.

leonhard paul euler
Leonhard Paul Euler

Método de Euler


Desenvolvido por Leonhard Paul Euler nos anos de 1760, o Método de Euler é prático e simples para se resolver uma equação diferencial. No entanto, esse método de resolução não é tão preciso.

Fórmula do método

${{y}_{n+1}}=yn+h\left( xn,yn \right)$

Exemplo de aplicação


1) Dada a equação diferencial $y'=t{{g}^{2}}\left( x \right)+{{y}^{3}}~~e~~y\left( 2,0 \right)=1,450$, calcule y(2,3) através do método de Euler, sendo o h=0,1.

Resolução:

metodo de euler

${{y}_{n+1}}=yn+h\left( xn,yn \right)$

${{y}_{1}}={{y}_{0}}+h\left( x0,y0 \right)=1,45+0,1\left( \left( t{{g}^{2}}2 \right)+{{\left( 1,45 \right)}^{3}} \right)=2,232$

${{y}_{2}}={{y}_{1}}+h\left( x1,y1 \right)=2,232+0,1\left( \left( t{{g}^{2}}2,1 \right)+{{\left( 2,232 \right)}^{3}} \right)=3,636$

${{y}_{3}}={{y}_{2}}+h\left( x2,y2 \right)=3,636+0,1\left( \left( t{{g}^{2}}2,2 \right)+{{\left( 3,636 \right)}^{3}} \right)=8,632$

Resposta:

$y\left( 2,3 \right)=8,632$


Método de Euler aperfeiçoado ou modificado


O Método de Euler Aperfeiçoado (também chamado de Método de Euler Modificado) foi desenvolvido nos anos de 1770, e é mais preciso do que o método de Euler. 

Fórmula do Método de Euler

${{y}_{1}}=y0+h.\left( f\left( x0,y0 \right) \right)$

Fórmula do método de Euler aperfeiçoado


${{y}_{1}}*=y0+\frac{h}{2}.\left( f\left( x0,y0 \right)+f\left( x1,y1 \right) \right)$


Exemplo de aplicação


1 ) Dada a equação diferencial $y'={{x}^{2}}y-\ln \left( 5+y \right)~~e~~y\left( 1,6 \right)=2,560$, calcule y(2,0) usando o Método de Euler Aperfeiçoado, sendo o h=0,2.


metodo euler aperfeiçoado modificado


Resolução

${{y}_{1}}=y0+h.\left( f\left( x0,y0 \right) \right)\Rightarrow {{y}_{1}}=2,560+0,2.\left( {{\left( 1,6 \right)}^{2}}.\left( 2,560 \right)-\ln \left( 5+2,560 \right) \right)=3,466$

${{y}_{1}}*=y0+\frac{h}{2}.\left( f\left( x0,y0 \right)+f\left( x1,y1 \right) \right)\Rightarrow$

$\Rightarrow {{y}_{1}}*=2,560+\frac{0,2}{2}.\left( \left( {{\left( 1,6 \right)}^{2}}.\left( 2,560 \right)-\ln \left( 5+2,560 \right) \right)+\left( {{\left( 1,8 \right)}^{2}}.\left( 3,466 \right)-\ln \left( 5+3,466 \right) \right) \right)=3,922$

${{y}_{2}}={{y}_{1}}*+h.\left( f\left( x1,y1* \right) \right)\Rightarrow {{y}_{2}}=3,922+0,2.\left( {{\left( 1,8 \right)}^{2}}.\left( 3,922 \right)-\ln \left( 5+3,922 \right) \right)=6,026$

${{y}_{2}}*=y1*+\frac{h}{2}.\left( f\left( x1,y1* \right)+f\left( x2,y2 \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow {{y}_{2}}*=3,922+\frac{0,2}{2}.\left( \left( {{\left( 1,8 \right)}^{2}}.\left( 3,922 \right)-\ln \left( 5+3,922 \right) \right)+\left( {{\left( 2,0 \right)}^{2}}.\left( 6,026 \right)-\ln \left( 5+6,026 \right) \right) \right)=7,144$

Resposta:

$y\left( 2,0 \right)=7,144$


Método de Runge-Kutta


Desenvolvido por Carl David Tolmé Runge e Martin Wilhelm Kutta no começo dos anos de 1900, o método de Runge-Kutta é um método bem preciso para se obter a solução numérica de equações diferenciais.

carl runge  martin kutta
Carl David Tolmé Runge e Martin Wilhelm Kutta 

Fórmulas do método de Runge-Kutta:

${{y}_{1}}={{y}_{0}}+\frac{1}{6}.\left( {{k}_{1}}+2\left( {{k}_{2}} \right)+2\left( {{k}_{3}} \right)+\left( {{k}_{4}} \right) \right)$

${{K}_{1}}=h.f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$

${{K}_{2}}=h.f\left( {{x}_{0}}+\frac{h}{2},{{y}_{0}}+\frac{{{K}_{1}}}{2} \right)$

${{K}_{3}}=h.f\left( {{x}_{0}}+\frac{h}{2},{{y}_{0}}+\frac{{{K}_{2}}}{2} \right)$

${{K}_{4}}=h.f\left( {{x}_{0}}+h,{{y}_{0}}+{{K}_{3}} \right)$

Exemplo de aplicação


1 ) Dada a equação diferencial $y'=y+\frac{{{e}^{x}}}{{{\cos }^{2}}\left( x \right)}~~e~~y\left( 1,0 \right)=4,233$, calcule y(1,1) usando o método de Runge Kutta, sendo o h=0,1.

Resolução

${{K}_{1}}=h.f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=h.f\left( 1~~,~~~4,233 \right)$

${{K}_{1}}=0,1.\left( 4,233+\frac{{{e}^{1}}}{{{\cos }^{2}}\left( 1 \right)} \right)=1,354$

${{K}_{2}}=h.f\left( {{x}_{0}}+\frac{h}{2},{{y}_{0}}+\frac{{{K}_{1}}}{2} \right)=h.f\left( 1+\frac{0,1}{2},4,233+\frac{1,354}{2} \right)=h.f\left( ~~1,05~~,~~~4,910~ \right)$

${{K}_{2}}=0,1.\left( 4,910+\frac{{{e}^{1,05}}}{{{\cos }^{2}}\left( 1,05 \right)} \right)=1,645$

${{K}_{3}}=h.f\left( {{x}_{0}}+\frac{h}{2},{{y}_{0}}+\frac{{{K}_{2}}}{2} \right)=h.f\left( 1+\frac{0,1}{2},4,233+\frac{1,645}{2} \right)=h.f\left( ~1,05~~,~~~5,056~ \right)$

${{K}_{3}}=0,1.\left( 5,056+\frac{{{e}^{1,05}}}{{{\cos }^{2}}\left( 1,05 \right)} \right)=1,660$

${{K}_{4}}=h.f\left( {{x}_{0}}+h,{{y}_{0}}+{{K}_{3}} \right)=h.f\left( 1+0,1~~,~~~4,233+1,660 \right)=h.f\left( ~1,1~~,~~~5,893~ \right)$

${{K}_{4}}=0,1.\left( 5,893+\frac{{{e}^{1,1}}}{{{\cos }^{2}}\left( 1,1 \right)} \right)=2,049$

Calculando y1:

${{y}_{1}}={{y}_{0}}+\frac{1}{6}\left( {{K}_{1}}+2{{K}_{2}}+2{{K}_{3}}+{{K}_{4}} \right)\Rightarrow $

${{y}_{1}}=4,233+\frac{1}{6}\left( 1,354+2\left( 1,645 \right)+2\left( 1,660 \right)+2,049 \right)=5,902$

Logo,

$y\left( 1,1 \right)=5,902$

Referências

  • Notas de Cálculo Numérico, Profº Joaquim, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011. 
  • Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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