Os
ângulos diretores são formados pelos ângulos que um vetor forma com os eixos coordenados, sendo que para visualizar isso, vamos supor que um vetor $\overrightarrow{v}=\left( x,y,z \right)$ , representado em um plano cartesiano x,y,z, juntamente com os
vetores $\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$ e $\overrightarrow{k}$, formam os ângulos α, β e γ.
Já os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos diretores α, β e γ; ou seja, cos α, cos β e cos γ. Para o cálculo desses cossenos diretores utilizamos as fórmulas:
$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{v}.\overrightarrow{i}}{\left| \overrightarrow{V} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}=\frac{\left( x,y,z \right).\left( 1,0,0 \right)}{\left| \overrightarrow{V} \right|.1}=\frac{x}{\left| \overrightarrow{V} \right|}$
$\cos \beta =\frac{\overrightarrow{v}.\overrightarrow{j}}{\left| \overrightarrow{V} \right|.\left| \overrightarrow{j} \right|}=\frac{\left( x,y,z \right).\left( 0,1,0 \right)}{\left| \overrightarrow{V} \right|.1}=\frac{y}{\left| \overrightarrow{V} \right|}$
$\cos \gamma =\frac{\overrightarrow{v}.\overrightarrow{k}}{\left| \overrightarrow{V} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}=\frac{\left( x,y,z \right).\left( 0,0,1 \right)}{\left| \overrightarrow{V} \right|.1}=\frac{z}{\left| \overrightarrow{V} \right|}$
Exercícios de Aplicação
1) Calcule os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor $\overrightarrow{V}=\left( 3,-4,12 \right)$.
Resolução
Calculando o módulo do vetor
$\overrightarrow{V}=\left| \sqrt{{{\left( 3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{\left( 12 \right)}^{2}}} \right|=\sqrt{9+16+144}=13$
Calculando os cossenos diretores
$\cos \alpha =\frac{A}{\left| \overrightarrow{V} \right|}=\frac{3}{13}=0,231\Rightarrow $
$\Rightarrow \alpha ={{\cos }^{-1}}\left( 0,231 \right)=76,64$
$\cos \beta =\frac{b}{\left| \overrightarrow{V} \right|}=\frac{-4}{13}=0,308\Rightarrow $
$\Rightarrow \beta ={{\cos }^{-1}}\left( -0,308 \right)\simeq 108{}^\circ $
$\cos \gamma =\frac{c}{\left| \overrightarrow{V} \right|}=\frac{12}{13}=0,923\Rightarrow $
$\Rightarrow \gamma ={{\cos }^{-1}}\left( 0,923 \right)\simeq 23{}^\circ $
2) Dados os pontos A(2,2,-3) e B(3,1-3) , calcule os ângulos diretores do vetor $\overrightarrow{AB}$.
Resolução
Calculando o vetor $\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB}=B-A=\left( 3,1,-3 \right)-\left( 2,2,-3
\right)\Rightarrow $
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 1,-1,0 \right)$
Calculando o modulo do vetor
$\overrightarrow{AB}=\left| \sqrt{{{\left( 1 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( 0 \right)}^{2}}} \right|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}$
Calculando os cossenos diretores
$\cos \alpha =\frac{A}{\left| \overrightarrow{AB} \right|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow $
$\Rightarrow \alpha ={{\cos }^{-1}}\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)=45{}^\circ $
$\cos \beta =\frac{b}{\left| \overrightarrow{AB} \right|}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}\Rightarrow $
$\Rightarrow \beta ={{\cos }^{-1}}\left( \frac{-\sqrt{2}}{2} \right)=135{}^\circ $
$\cos \gamma =\frac{0}{\left| \overrightarrow{AB} \right|}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0\Rightarrow$
$\Rightarrow \gamma =90{}^\circ $
Observação:
Como γ = 90°, o vetor $\overrightarrow{AB}$ é ortogonal ao vetor $\overrightarrow{k}$ ou ao eixo z. Assim, sempre que um vetor tem a sua terceira componente nula, ele é ortogonal ao eixo z. Desta forma análoga, um vetor do tipo $\overrightarrow{v}=\left( 0,y,z \right)$ é ortogonal ao eixo x e um do tipo $\overrightarrow{v}=\left( x,0,z \right)$ é ortogonal ao eixo y.
Referências
- Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
- Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra linear, Sergio R. Lara, Santos, São Paulo, 2010.
- Geometria Analítica - Steinbruch e Winterle
