Produto Misto (Triplo) de Vetores: Exercícios Resolvidos

O produto misto (também chamado de produto triplo) é uma operação que envolve 3 vetores e 2 produtos, sendo o escalar e o vetorial. Essa operação do produto misto tem por símbolos “x” e “^”, que resultam em um número real, podendo ser desenvolvido como uma determinante.

Essa operação é geralmente usada para calcular o volume de paralelepípedos e tetraedros. Nessa postagem, eu estarei resolvendo exercícios simples, para demonstrar o método.

produto misto triplo tetraedro paralelepipedo

Exercícios Resolvidos de Produto Misto


1) Dado $\overrightarrow{U}=\left( 2,-3,4 \right)$, $\overrightarrow{V}=\left( 8,6,9 \right)$ e $\overrightarrow{W}=\left( 1,7,5 \right)$. Calcule o volume do paralelepípedo abaixo:

Resolução:

Para resolver esse exercício vou montar uma determinante, e repetirei as duas primeiras colunas ; em seguida, traçarei três linhas diagonais para a direita, e três linhas diagonais para a esquerda.
Determinante 1 produto misto

Após tracejar as linhas, iremos multiplicar os números destas, sendo que as linhas diagonais para a esquerda serão multiplicadas por “menos”, isto é, terá valor negativo no final.

Montando a equação do paralelepípedo,

$Vp~=\left( \left( 2x6x5 \right)+\left( -3x9x1 \right)+\left( 4x8x7 \right) \right)-\left( \left( -3x8x5 \right)+\left( 2x9x7 \right)+\left( 4x6x1 \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow Vp~=\left( \left( 60 \right)+\left( -27 \right)+\left( 224 \right) \right)-\left( \left( -120 \right)+\left( 126 \right)+\left( 24 \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow Vp~=\left( 257 \right)-\left( 30 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow Vp~=227~{{m}^{3}}$


2) Determinar o volume do paralelepípedo, sendo $\overrightarrow{U}=\left( 6,0,0 \right)$, $\overrightarrow{V}=\left( 0,7,2 \right)$ e $\overrightarrow{W}=\left( 0,1,4 \right)$

Resolução:
A partir da determinante abaixo, vamos copiar as duas primeiras colunas e fazer as devidas multiplicações, lembrando sempre de pôr o sinal de menos para os resultados das linhas diagonais à esquerda.

Determinante 2 produto triplo

Preparandoa equação do paralelepípedo

$Vp~=\left( \left( 6x7x4 \right)+\left( 0x2x0 \right)+\left( 0x0x1 \right) \right)-\left( \left( 0x0x4 \right)+\left( 6x2x1 \right)+\left( 0x7x0 \right) \right)\Rightarrow $

$Vp~=\left( \left( 168 \right)+\left( 0 \right)+\left( 0 \right) \right)-\left( \left( 0 \right)+\left( 12 \right)+\left( 0 \right) \right)\Rightarrow $

$Vp~=\left( 168 \right)-\left( 12 \right)=156~{{m}^{3}}$


3)Determine o volume do tetraedro:

Dados:

$\overrightarrow{A}=\left( 0,0,0 \right),\overrightarrow{B}=\left( 5,4,0 \right),\overrightarrow{C}=\left( 0,1,7 \right)~e~\overrightarrow{D}=\left( 6,0,3 \right)$

Resolução:

Reduzindo os 4 vetores em 3:

$\overrightarrow{AB}=\left( B-A \right)=\left( 5,4,0 \right)-\left( 0,0,0 \right)=\left( 5,4,0 \right)$

$\overrightarrow{AC}=\left( C-A \right)=\left( 0,1,7 \right)-\left( 0,0,0 \right)=\left( 0,1,7 \right)$

$\overrightarrow{AD}=\left( D-A \right)=\left( 6,0,3 \right)-\left( 0,0,0 \right)=\left( 6,0,3 \right)$

Esta determinante irá gerar os resultados das multiplicações, do lado direito (positivo) e do lado esquerdo (negativo), lembrando que o tetraedro tem um sexto de volume, quando relacionado ao paralelepípedo

determinante 3

Com isso,

$Vt~=\frac{1}{6}.\left( \left( \left( 5x1x3 \right)+\left( 4x7x6 \right)+\left( 0x0x0 \right) \right)-\left( \left( 4x0x3 \right)+\left( 5x7x0 \right)+\left( 0x1x6 \right) \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow Vt~=\frac{1}{6}.\left( \left( \left( 15 \right)+\left( 168 \right)+\left( 0 \right) \right)-\left( \left( 0 \right)+\left( 0 \right)+\left( 0 \right) \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow Vt=\frac{1}{6}.\left( \left( 15 \right)+\left( 168 \right) \right)=30,5$


Referências

  • Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
  • Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra linear, Sergio R. Lara, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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