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Produto Escalar de Vetores: Exercícios Resolvidos

O produto escalar é uma operação que só ocorre entre dois vetores e resulta em um número, sendo a operação escrita por A x B, e se houver um pequeno ângulo θ entre A e B, aplica-se a propriedade fundamental do produto escalar, com isso, o resultado do produto escalar de A e B será:

$\overrightarrow{A}~~x~\overrightarrow{B}=\left| \overrightarrow{A} \right|x\left| \overrightarrow{B} \right|x\cos \theta $

O produto escalar mede a extensão em que dois vetores são paralelos. Ele pode ser pensado como a multiplicação de uma magnitude de um vetor pela projeção do outro sobre ele, conforme mostrado na Figura 1C (abaixo), sendo que se os dois vetores forem perpendiculares, o produto escalar é zero.
produto escalar exercicio
Figura 1: (A) Somados os vetores, temos o vetor resultante C = A+B = B+A. Já a diferença A+ (-B)= A-B = D. (C, à esquerda) A cos θ é o componente de A multiplicado por B e (direita)B cos θ é o componente de B vezes A. (D, esquerda) A regra da Mão Direita aplicada para encontrar a direção de E= AxB e (direita) a regra da Mão Direita para encontrar a direção de –E.

Exercícios Resolvidos de Produto Escalar


1) Determine o produto escalar entre os pares de vetores abaixo:

$1)~~\overrightarrow{~U}=\left( 2,3,4 \right)~~e~~\overrightarrow{V}=\left( 1,1,0 \right)$

$2)~~\overrightarrow{~m}=\left( 1,-1,6 \right)~~e~~\overrightarrow{H}=\left( 2,0,-1 \right)$

$3)~~\overrightarrow{~a}=\left( 2,1,-1 \right)~~e~~\overrightarrow{b}=\left( 1,2,4 \right)$

Resolução:

$1)~~\overrightarrow{~U}=\left( 2,3,4 \right)~~e~~\overrightarrow{V}=\left( 1,1,0 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{U}x\overrightarrow{~V}=\left( 2,3,4 \right)x\left( 1,1,0 \right)=\left( 2x1 \right)+\left( 3x1 \right)+\left( 4x0 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{U}x\overrightarrow{~V}=2+3+0=5$

$2)~~\overrightarrow{~m}=\left( 1,-1,6 \right)~~e~~\overrightarrow{H}=\left( 2,0,-1 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{m}~x~\overrightarrow{H}=\left( 1,-1,6 \right)x\left( 2,0,-1 \right)=\left( 1x2 \right)+\left( -1x0 \right)+\left( 6x-1 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{m}~x~\overrightarrow{H}=2+0-6=-4$

$3)~~\overrightarrow{~a}=\left( 2,1,-1 \right)~~e~~\overrightarrow{b}=\left( 1,2,4 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{a~}~x~~\overrightarrow{b}=\left( 2,1,-1 \right)x\left( 1,2,4 \right)=\left( 2x1 \right)+\left( 1x2 \right)+\left( -1x4 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{a~}~x~~\overrightarrow{b}=2+2-4=0$

2) Aplique a propriedade fundamental do produto escalar para achar a medida do ângulo entre os vértices $\overrightarrow{m}=\left( 1,-1,6 \right)~~e~~\overrightarrow{H}=\left( 2,0,-1 \right)$

Resolução:

$\overrightarrow{m}=\left( 1,-1,6 \right)~~e~~\overrightarrow{H}=\left( 2,0,-1 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{m}~x~\overrightarrow{H}=\left( 1,-1,6 \right)x\left( 2,0,-1 \right)=\left( 1x2 \right)+\left( -1x0 \right)+\left( 6x-1 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{m}~x~\overrightarrow{H}=2+0-6=-4$

Calculando o ângulo
$\overrightarrow{m}~~x~\overrightarrow{H}=\left| \overrightarrow{m} \right|x\left| \overrightarrow{H} \right|x\cos \theta \Rightarrow $

Lembrando que o modulo de um vetor , representado por  é um número real não negativo

$\left| \overrightarrow{H} \right|=\sqrt{\overrightarrow{H}.\overrightarrow{H}}$

Ou em coordenadas,

$\left| \overrightarrow{H} \right|=\sqrt{\left( x,y,z \right).\left( x,y,z \right)}$

ou

$\left| \overrightarrow{H} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$

Logo, voltando a resolução da equação.

$\Rightarrow -4=\left| \sqrt{{{\left( 1 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( 6 \right)}^{2}}} \right|x\left| \sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}+{{\left( 0 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}} \right|x\cos \theta \Rightarrow $

$\Rightarrow -4=\sqrt{38}~~x\sqrt{5}~~x\cos \theta \Rightarrow $

$\Rightarrow \cos \theta =\frac{-4}{\sqrt{190}}=-0,29=106,87{}^\circ $

Referências

  • http://www.britannica.com/science/mechanics (acessado em 27/09/2015 as 16:13)
  • Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
  • Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra linear, Sergio R. Lara, Santos, São Paulo, 2010.
  • Geometria Analítica - Steinbruch e Winterle

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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