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Integração por substituição: Exercícios Resolvidos

Nessa postagem, eu estarei abordando um pouco sobre integração por substituição, aplicando o método U Du, para integrar algumas funções. Sendo que para isso, elaborei um roteiro de como resolver e, deixei alguns exemplos de exercícios resolvidos de integrais aplicando a método.

definiçao de integral

Instruções para Resolver Exercícios de Integral por Substituição


Para começarmos, seja f (x) e g (x) duas funções e H (x) = [ f (g (x) )] uma composta de f e g.Sendo H '(x) a sua derivada temos :

H’(x)=[f(g(x))]’→H’(x)=f(g(x)).g’(x)

Para determinarmos uma primitiva de H’ (x) devemos calcular a sua integral usando o método da substituição

Para isso, fazemos do seguinte modo:

1) Consideramos U = g(x) onde g(x) é parte do integrando em geral a parte interna do composto f (g(x))

2) Calculamos a derivada de g(x), que é du = g'(x)dx

3)Com a substituição U= g(x) e du = g'(x) dx converta a integral em x em uma outra variável, ou seja U ;

∫ H’(x) dx =∫f(g(x)).g’(x) dx

∫H’(x) dx =∫ f(U) du

4)∫f(U) du = F(U) +C

5)Substitui U por g(x) para obtermos a solução final da variável x.

Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição, Aplicando o Método U du


$a)f\left( x \right)=3{{\left( 3x+4 \right)}^{5}}\Rightarrow \int{3{{\left( 3x+4 \right)}^{5}}dx}\Rightarrow $

Sendo:

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
3x+4 \\
3 \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{3}{{\left( 3x+4 \right)}^{5}}~dx\Rightarrow \int{{{\left( 3x+4 \right)}^{5}}.3}dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \int{{{U}^{5}}du=\frac{{{U}^{6}}}{6}}+C\Rightarrow $

Logo:

$\int{3{{\left( 3x+4 \right)}^{5}}dx}=\frac{{{\left( 3x+4 \right)}^{6}}}{6}+C$

$b)f\left( x \right)=5{{x}^{4}}\left( 1+{{x}^{5}} \right)\Rightarrow \int{5{{x}^{4}}\left( 1+{{x}^{5}} \right)~~dx}\Rightarrow $

Sendo:

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
1+{{x}^{5}} \\
5{{x}^{4}} \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{5{{x}^{4}}}{{\left( 1+{{x}^{5}} \right)}^{3}}~dx\Rightarrow \int{{{\left( 1+{{x}^{5}} \right)}^{3}}.5{{x}^{4}}~}dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \int{{{U}^{3}}}~du=\frac{{{U}^{4}}}{4}+C\Rightarrow \int{5{{x}^{4}}\left( 1+{{x}^{5}} \right)~~dx}=\frac{{{\left( 1+{{x}^{5}} \right)}^{4}}}{4}+C$

$c)f\left( x \right)=x{{\left( {{x}^{2}}-5 \right)}^{6}}\Rightarrow \int{x{{\left( {{x}^{2}}-5 \right)}^{6}}dx\Rightarrow }$

Sendo:

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{{x}^{2}}-5 \\
2x \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{x{{\left( {{x}^{2}}-5 \right)}^{6}}}dx\Rightarrow \int{{{\left( {{x}^{2}}-5 \right)}^{6}}.~~}x~~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \int{\frac{2}{2}{{\left( {{x}^{2}}-5 \right)}^{6}}}.~~x~~dx\Rightarrow \frac{1}{2}\int{{{\left( {{x}^{2}}-5 \right)}^{6}}}.~~2x~~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \int{{{U}^{6}}}~du=\frac{{{U}^{7}}}{7}+C\Rightarrow \frac{1}{2}\int{{{\left( {{x}^{2}}-5 \right)}^{6}}~}.~~2x~~dx=$

$=\frac{1}{2}.\left( \frac{{{\left( {{x}^{2}}-5 \right)}^{7}}}{7}+C \right)=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-5 \right)}^{7}}}{14}+C$

$d)f\left( x \right)={{x}^{2}}\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{2}}}\Rightarrow \int{{{x}^{2}}\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{2}}}}dx$

Sendo:

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{{x}^{3}}-2 \\
3{{x}^{2}} \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{{{x}^{2}}\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{2}}}}dx\Rightarrow \int{\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{2}}}}.~{{x}^{2}}~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \int{\frac{3}{3}\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{2}}}.~{{x}^{2}}~}dx\Rightarrow \frac{1}{3}\int{\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{2}}}.~3{{x}^{2}}~}dx{{\Rightarrow }_{{}}}$

$\Rightarrow \frac{1}{3}\int{\frac{{{U}^{\frac{2}{3}+1}}}{\frac{2}{3}+1}}+C\Rightarrow \frac{1}{3}.\left( \frac{{{U}^{\frac{5}{3}}}}{\frac{5}{3}}+C \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{{{U}^{\frac{5}{3}}}}{5}+C=\frac{\sqrt[3]{{{U}^{5}}}}{5}+C$

Logo:

$\int{{{x}^{2}}\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{2}}}}dx=\frac{\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{5}}}}{5}+C$

$e)f\left( x \right)=3x.{{e}^{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}\Rightarrow \int{3x.{{e}^{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}~dx}\Rightarrow $

Sendo:

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{{x}^{2}}-1 \\
2x \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{3x.{{e}^{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}}}dx\Rightarrow \int{\frac{2}{2}.\frac{3}{3}.3x.{{e}^{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}}}~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{3}{2}\int{2x.{{e}^{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}}}~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{3}{2}\int{{{e}^{U}}du=}\frac{3}{2}{{e}^{U}}+C$

Logo:

$\int{3x.{{e}^{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}~dx}=\frac{3}{2}.{{e}^{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}+C$

Veja a nossa postagem de Exercícios Resolvidos de Integral por substituição


Referências

  • Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
  • Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Professor Lucio, UNISANTA, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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