Compartilhe :
Nessa postagem, eu estarei resolvendo alguns exercícios de integral por substituição. Sendo essa postagem uma continuação da postagem de integração por substituição
Exercícios resolvidos de integral por substituição
$a)f\left( x \right)=\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}\Rightarrow \int{\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$
U=x2-3x+1
du=2x-3
$\Rightarrow \int{\frac{2}{2}.\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$
$\Rightarrow \int{\frac{2}{1}.\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$
$\Rightarrow 2\int{\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$
$\Rightarrow \int{{{U}^{3}}du=\frac{{{U}^{3+1}}}{3+1}}+C=\frac{{{U}^{4}}}{4}+C\Rightarrow $
Logo:
$\Rightarrow 2\int{\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx}=\frac{2{{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{4}}}{4}+C=$
$=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{4}}}{2}+C$
$b)f\left( x \right)=3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}\Rightarrow \int{3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $
U=2-x5
$\Rightarrow \int{\frac{2}{1}.\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$
$\Rightarrow 2\int{\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$
$\Rightarrow \int{{{U}^{3}}du=\frac{{{U}^{3+1}}}{3+1}}+C=\frac{{{U}^{4}}}{4}+C\Rightarrow $
Logo:
$\Rightarrow 2\int{\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx}=\frac{2{{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{4}}}{4}+C=$
$=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{4}}}{2}+C$
$b)f\left( x \right)=3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}\Rightarrow \int{3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $
U=2-x5
du=-5x4
$\Rightarrow \int{\frac{-5}{-5}.\frac{3}{3}3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}=\int{\frac{3}{-5}.-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $
$\Rightarrow -\frac{3}{5}.\int{-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $
$\Rightarrow \int{{{U}^{3}}du=\frac{{{U}^{3+1}}}{3+1}}+C=\frac{{{U}^{4}}}{4}+C\Rightarrow $
Logo:
$\Rightarrow -\frac{3}{5}.\int{-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}=-\frac{3}{5}.\frac{{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{4}}}{4}+C=$
$=\frac{-3{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{4}}}{20}+C$
$c)f\left( x \right)=\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)\Rightarrow \int{\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $
U=2x4-5
$\Rightarrow -\frac{3}{5}.\int{-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $
$\Rightarrow \int{{{U}^{3}}du=\frac{{{U}^{3+1}}}{3+1}}+C=\frac{{{U}^{4}}}{4}+C\Rightarrow $
Logo:
$\Rightarrow -\frac{3}{5}.\int{-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}=-\frac{3}{5}.\frac{{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{4}}}{4}+C=$
$=\frac{-3{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{4}}}{20}+C$
$c)f\left( x \right)=\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)\Rightarrow \int{\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $
U=2x4-5
du=8x3
$\Rightarrow \int{\frac{8}{8}.\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow \int{\frac{3}{8}.\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $
$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $
$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\frac{du}{U}=\frac{3}{8}.\ln \left( u \right)}+C\Rightarrow $
Logo:
$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}=\frac{3}{8}.\ln \left( 2{{x}^{4}}-5 \right)+C$
$d)f\left( x \right)=10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)\Rightarrow \int{10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$
$\Rightarrow \int{\frac{2}{2}.\frac{3}{3}.\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow \int{\frac{2}{3}.4~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow $
$\Rightarrow \frac{2}{3}\int{4~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow $
$\Rightarrow \frac{2}{3}{{\int{e}}^{U}}du=\frac{2}{3}{{e}^{U}}+C$
Logo:
$\Rightarrow \frac{2}{3}\int{4~{{e}^{4x}}}~dx=\frac{2}{3}{{e}^{4x}}+C$
$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $
$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\frac{du}{U}=\frac{3}{8}.\ln \left( u \right)}+C\Rightarrow $
Logo:
$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}=\frac{3}{8}.\ln \left( 2{{x}^{4}}-5 \right)+C$
$d)f\left( x \right)=10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)\Rightarrow \int{10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$
U=x2-7
du=2x
$\Rightarrow \int{\frac{5}{5}.10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }\int{\frac{5}{1}.2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$
$\Rightarrow 5\int{2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$
$\Rightarrow 5\int{sen\left( U \right)}~du=-5\cos \left( U \right)+C$
Logo:
$\Rightarrow 5\int{2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx}=-5\cos \left( {{x}^{2}}-7 \right)+C$
$e)f\left( x \right)=\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}\Rightarrow \int{\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}}~dx$
U=4x
$\Rightarrow 5\int{2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$
$\Rightarrow 5\int{sen\left( U \right)}~du=-5\cos \left( U \right)+C$
Logo:
$\Rightarrow 5\int{2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx}=-5\cos \left( {{x}^{2}}-7 \right)+C$
$e)f\left( x \right)=\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}\Rightarrow \int{\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}}~dx$
U=4x
du=4
$\Rightarrow \int{\frac{2}{2}.\frac{3}{3}.\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow \int{\frac{2}{3}.4~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow $
$\Rightarrow \frac{2}{3}\int{4~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow $
$\Rightarrow \frac{2}{3}{{\int{e}}^{U}}du=\frac{2}{3}{{e}^{U}}+C$
Logo:
$\Rightarrow \frac{2}{3}\int{4~{{e}^{4x}}}~dx=\frac{2}{3}{{e}^{4x}}+C$
Postagem em formato de vídeo
Para a turma que não está muito afim de ler, segue o link da postagem em formato de vídeo:
Referências
- Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
- Notas de aula de Cálculo Integral e Diferencial, Prof. Carlos Lúcio Benjamin, São Paulo, 2010.
Sobre o autor
Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean
Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)
0 Comentários de "Exercícios Resolvidos de Integral por substituição"
Os comentários são sempre bem vindos, pois agregam valor ao artigo. Porém, existem algumas regras na Política de Comentários, que devem ser seguidas para o seu comentário não ser excluído:
- Os comentários devem estar relacionados ao assunto do artigo.
- Jamais faça um comentário com linguagem ofensiva ou de baixo calão, que deprecie o artigo exposto ou que ofenda o autor ou algum leitor do blog.
- Não coloque links de sites ou blogs no corpo do texto do comentário. Para isso, assine com seu Nome/URL ou OpenID.
-Não coloque seu email e nem seu telefone no corpo do texto do comentário. Use o nosso formulário de contato.
- Se encontrar algum pequeno erro na postagem, por favor, seja bem claro no comentário, pois a minha bola de cristal não é muito boa.
- Tem vezes que eu demoro pra responder, mas quase sempre eu respondo.
- Não seja tímido, se você tem alguma duvida ou sabe de algo mais sobre o assunto abordado no artigo, comente e compartilhe conosco :)