Exercícios Resolvidos de Integral por substituição

POR Pedro Coelho

Publicado: terça-feira, 10 de fevereiro de 2015

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Nessa postagem, eu estarei resolvendo alguns exercícios de integral por substituição. Sendo essa postagem uma continuação da postagem de integração por substituição

Exercícios resolvidos de integral por substituição

$a)f\left( x \right)=\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}\Rightarrow \int{\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{{x}^{2}}-3x+1 \\
2x-3 \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{\frac{2}{2}.\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow \int{\frac{2}{1}.\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow 2\int{\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow \int{{{U}^{3}}du=\frac{{{U}^{3+1}}}{3+1}}+C=\frac{{{U}^{4}}}{4}+C\Rightarrow $

Logo:

$\Rightarrow 2\int{\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx}=\frac{2{{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{4}}}{4}+C=$

$=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{4}}}{2}+C$

$b)f\left( x \right)=3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}\Rightarrow \int{3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
2-{{x}^{5}} \\
-5{{x}^{4}} \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{\frac{-5}{-5}.\frac{3}{3}3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}=\int{\frac{3}{-5}.-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow -\frac{3}{5}.\int{-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow \int{{{U}^{3}}du=\frac{{{U}^{3+1}}}{3+1}}+C=\frac{{{U}^{4}}}{4}+C\Rightarrow $

Logo:

$\Rightarrow -\frac{3}{5}.\int{-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}=-\frac{3}{5}.\frac{{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{4}}}{4}+C=$

$=\frac{-3{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{4}}}{20}+C$

$c)f\left( x \right)=\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)\Rightarrow \int{\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
2{{x}^{4}}-5 \\
8{{x}^{3}} \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{\frac{8}{8}.\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow \int{\frac{3}{8}.\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\frac{du}{U}=\frac{3}{8}.\ln \left( u \right)}+C\Rightarrow $

Logo:

$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}=\frac{3}{8}.\ln \left( 2{{x}^{4}}-5 \right)+C$

$d)f\left( x \right)=10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)\Rightarrow \int{10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{{x}^{2}}-7 \\
2x \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{\frac{5}{5}.10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }\int{\frac{5}{1}.2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow 5\int{2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow 5\int{sen\left( U \right)}~du=-5\cos \left( U \right)+C$

Logo:

$\Rightarrow 5\int{2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx}=-5\cos \left( {{x}^{2}}-7 \right)+C$

$e)f\left( x \right)=\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}\Rightarrow \int{\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}}~dx$

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
4x \\
4 \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{\frac{2}{2}.\frac{3}{3}.\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow \int{\frac{2}{3}.4~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{2}{3}\int{4~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{2}{3}{{\int{e}}^{U}}du=\frac{2}{3}{{e}^{U}}+C$

Logo:

$\Rightarrow \frac{2}{3}\int{4~{{e}^{4x}}}~dx=\frac{2}{3}{{e}^{4x}}+C$

Postagem em formato de vídeo

Referências

• Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011. 
•  Notas de aula de Cálculo Integral e Diferencial, Prof. Carlos Lúcio Benjamin, São Paulo, 2010.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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