Exercícios Resolvidos de Integral por substituição

Nessa postagem, eu estarei resolvendo alguns exercícios de integral por substituição. Sendo essa postagem uma continuação da postagem de integração por substituição

definiçao de integral

Exercícios resolvidos de integral por substituição


$a)f\left( x \right)=\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}\Rightarrow \int{\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{{x}^{2}}-3x+1 \\
2x-3 \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{\frac{2}{2}.\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow \int{\frac{2}{1}.\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow 2\int{\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow \int{{{U}^{3}}du=\frac{{{U}^{3+1}}}{3+1}}+C=\frac{{{U}^{4}}}{4}+C\Rightarrow $

Logo:

$\Rightarrow 2\int{\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx}=\frac{2{{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{4}}}{4}+C=$

$=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{4}}}{2}+C$

$b)f\left( x \right)=3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}\Rightarrow \int{3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
2-{{x}^{5}} \\
-5{{x}^{4}} \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{\frac{-5}{-5}.\frac{3}{3}3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}=\int{\frac{3}{-5}.-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow -\frac{3}{5}.\int{-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow \int{{{U}^{3}}du=\frac{{{U}^{3+1}}}{3+1}}+C=\frac{{{U}^{4}}}{4}+C\Rightarrow $

Logo:

$\Rightarrow -\frac{3}{5}.\int{-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}=-\frac{3}{5}.\frac{{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{4}}}{4}+C=$

$=\frac{-3{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{4}}}{20}+C$

$c)f\left( x \right)=\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)\Rightarrow \int{\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
2{{x}^{4}}-5 \\
8{{x}^{3}} \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{\frac{8}{8}.\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow \int{\frac{3}{8}.\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\frac{du}{U}=\frac{3}{8}.\ln \left( u \right)}+C\Rightarrow $

Logo:

$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}=\frac{3}{8}.\ln \left( 2{{x}^{4}}-5 \right)+C$

$d)f\left( x \right)=10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)\Rightarrow \int{10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
{{x}^{2}}-7 \\
2x \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{\frac{5}{5}.10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }\int{\frac{5}{1}.2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow 5\int{2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow 5\int{sen\left( U \right)}~du=-5\cos \left( U \right)+C$

Logo:

$\Rightarrow 5\int{2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx}=-5\cos \left( {{x}^{2}}-7 \right)+C$

$e)f\left( x \right)=\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}\Rightarrow \int{\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}}~dx$

$\begin{matrix}
U \\
du \\
\end{matrix}\begin{matrix}
= \\
= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
4x \\
4 \\
\end{matrix}$

$\Rightarrow \int{\frac{2}{2}.\frac{3}{3}.\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow \int{\frac{2}{3}.4~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{2}{3}\int{4~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{2}{3}{{\int{e}}^{U}}du=\frac{2}{3}{{e}^{U}}+C$

Logo:

$\Rightarrow \frac{2}{3}\int{4~{{e}^{4x}}}~dx=\frac{2}{3}{{e}^{4x}}+C$

Postagem em formato de vídeo



Referências

  • Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011. 
  •  Notas de aula de Cálculo Integral e Diferencial, Prof. Carlos Lúcio Benjamin, São Paulo, 2010.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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