O conceito de reta foi introduzida pelos matemáticos da antiguidade para representar objetos retos sem curvatura, que possuem largura e profundidade desprezíveis.
Retrato do filósofo e matemático Euclides de Alexandria |
O filosofo e matemático Euclides de Alexandria descreveu que por dois pontos distintos se passa uma e somente uma reta, sendo que essa reta apresenta infinitos pontos, logo para definir a equação vetorial paramétrica da reta dizemos que um desses pontos é x.
Assim podemos afirmar que os vetores x-A e B-A possuem a mesma direção, sendo que os mesmos são paralelos, logo um deles pode ser escrito em função do outro.
Sendo m um parâmetro, A um ponto da reta, e (B-A) o vetor diretor da reta.
Exemplos de exercícios resolvidos
1)Dada A= (2,5,3) e B = (3,7,1) dois pontos de uma reta r, determine :
a) equação vetorial paramétrica da reta
b) Qual é valor do vetor diretor da equação da reta
c)Determine as equações cartesianas dessa reta
d) Determine as equações reduzidas
Resolução
a)
$\overrightarrow{AB}=\left( B-A \right)=\left( 3,7,1 \right)-\left( 2,5,3 \right)=\left( 1,2,-2 \right)$
Sendo:
$x=A+m\left( B-A \right)$
Logo:
$x=\left( 2,5,3 \right)+m\left( 1,2,-2 \right)$
b)
$\overrightarrow{V}=\left( 1,2,-2 \right)$
c)
Tenho x= (2,5,3) + m(1,2,-2)
sei que x = (x,y,z)
então :
x = 2+m
y =5 +2m
z = 3-2m
d)
Tenho :
x = 2+m
y =5 +2m
z = 3-2m
Escolho uma delas e isolo m
x = 2+m → m = x-2
e substituo m nas outras equações
y =5 +2m → y = 5 + 2(x -2) →y= 2x+1
z = 3-2m → z= 3 - 2(x -2) → z=-2x +7
2) Determine as equações da reta que passa pelos pontos M=(4,3,0) e N= (5,1,2) e suas formas.
a) Vetorial paramétrica
b) Cartesiana paramétrica
c) Reduzidas
Resolução:
a)
$\overrightarrow{MN}=\left( N-M \right)=\left( 5,1,2 \right)-\left( 4,3,0 \right)=\left( 1,-2,2 \right)$
Sendo:
$x=M+m\left( N-M \right)$
Logo:
$x=\left( 4,3,0 \right)+m\left( 1,-2,2 \right)$
b)
Tenho x= (4,3,0) + m(1,-2,2)
sei que x = (x,y,z)
então :
x = 4+m
y =3 -2m
z = 2m
c)
Tenho :
x = 4+m
y =3 -2m
z = 2m
Escolho uma delas e isolo m
x = 4+m → m = x-4
e substituo m nas outras equações
y =3 -2m → y = 3 - 2(x -4) →y= -2x+11
z = 2m → z= 2(x -4) → z=2x -8
Referências
- Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
- Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra linear, Sergio R. Lara, Santos, São Paulo, 2010.
Sobre o autor
Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)
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