Equações exponenciais: Exercícios Resolvidos

POR Pedro Coelho

Publicado: quinta-feira, 26 de maio de 2022

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É chamado de equação exponencial toda equação que contem incógnita no expoente, como por exemplo:

2^x=16

3^x+1 + 3^x-2 = 9

3^x-1 = 27

10. 2^2x – 5.2^2x -1 = 0

Para resolver esse tipo de equação, devemos transformá-la de modo a obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membro da equação utilizando as definições e propriedades de potenciação:

Além disso, usando o seguinte fato:

Se a > 0, a ≠ 1 e x é a incógnita, a solução da equação a^x =a^p é x = p

Exemplos de Exercícios

1)Determine o valor de x nas equações abaixo:

a) ${{8}^{\left( x-3 \right)}}=\frac{1}{64}$

Resolução

${{8}^{\left( x-3 \right)}}=\frac{1}{64}\Rightarrow {{\left( {{2}^{3}} \right)}^{x-3}}={{2}^{-6}}\Rightarrow $

Comparando

3(x-3) = - 6⇒ 3x – 9= -6 ⇒3x = 3 ⇒x =1

b) 2^2x -9.^2x +8 =0

Resolução

${{2}^{2x}}-{{9.2}^{x}}+8=0\Rightarrow {{2}^{2x}}-{{9.2}^{x}}+8\Rightarrow $

$\Rightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-{{9.2}^{x}}+8$

Substituindo: 2x por y, logo:

y²-9y+8 =0

∆=(-9)2 – 4.(1).(8) = 49

$y=\frac{9\pm \sqrt{49}}{2\left( 1 \right)}=~~~{{y}_{1}}=8~~{{y}_{2}}=1$

Assim temos:

2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x=3

2x = 1 ⇒ 2x = 20 ⇒ x=0


c) 9^(x-5) = 27

Resolução

${{9}^{\left( x-5 \right)}}=27\Rightarrow {{\left( {{3}^{2}} \right)}^{\left( x-5 \right)}}={{3}^{3}}$

Comparando:

$2\left( x-5 \right)=3\Rightarrow 2x-10=3\Rightarrow x=\frac{13}{2}$


d) 5^x – 5^(2-x) = 24

Resolução:

${{5}^{x}}-{{5}^{\left( 2-x \right)}}=24\Rightarrow {{5}^{x}}-{{5}^{2}}{{.5}^{-x}}=24\Rightarrow $

$\Rightarrow {{5}^{x}}-25.\frac{1}{{{5}^{x}}}=24$

Substituindo: 5x por y, logo:

$y-\frac{25}{y}=24\Rightarrow {{y}^{2}}-25=24y\Rightarrow {{y}^{2}}-24y-25$

∆ = (24)2 – 4.(1).(-25) = 676

$y=\frac{24\pm \sqrt{676}}{2.\left( 1 \right)}=~~~{{y}_{1}}=25~~~~{{y}_{2}}=-1$

Assim temos

5^x=25 ⇒5^x=5²⇒x=2

5^x=-1 ⇒

Essa segunda equação não tem raiz real, logo

5^x=5⁰⇒x=0


e) 3^x+1 + 3^x+2 = 108

Resolução

${{3}^{x+1}}~+\text{ }{{3}^{x+2}}~=\text{ }9\Rightarrow {{3}^{x+1}}~+\text{ }{{3}^{x+2}}~=\text{ }108\Rightarrow $

Aplicando a propriedade das potencias

3^x+1 = 3^x. (3¹)

3^x+2 = 3^x.( 3²)

$\Rightarrow \left( {{3}^{x}} \right).\left( {{3}^{1}}+{{3}^{2}} \right)~~=\text{ }108\Rightarrow \left( {{3}^{x}} \right)~*\left( 3+9 \right)~=\text{ }108\Rightarrow $

$\Rightarrow \left( {{3}^{x}} \right)~*\left( 12 \right)~=\text{ }108\Rightarrow \left( {{3}^{x}} \right)~=\frac{108}{12}=9$

Logo

3^x=3² , logo x=2

Referências

• Giovanni J,R;Bonjorno, J,R; Giovanni Jr,J,R;Matemática Fundamental Uma Nova Abordagem, editora FTD, 2002.
• Notas de Tópicos de Mátematica, Me. Adilson Simões, São Paulo, 2022

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)