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Integração numérica – Método dos Trapézios e de Simpson

Nas aulas de cálculo integral e diferencial, você aprendeu o Teorema Fundamental, para calcular a área de um gráfico:

determinacao area grafico

Cálculo da área

$A=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}~dx=\left. F\left( x \right) \right|_{a}^{b}=F\left( b \right)-F\left( a \right)$

... em que F(x) é a primitiva de f (x).

Já em cálculo numérico, você aprende técnicas de integração numérica que são empregadas na determinação da área de gráficos, sendo essas técnicas muito usadas em casos que a integral não possui uma solução analítica. Nesta postagem, eu vou demonstrar dois métodos de integração numérica: o método dos trapézios e o método de Simpson.

Método dos Trapézios


O método dos trapézios consiste basicamente em aproximar o valor da função de f(x) no intervalo [a, b] por uma função de primeira ordem; isto, geometricamente, equivale a aproximar uma curva qualquer por uma reta, conforme mostra a figura abaixo.

metodo trapezios integração numerica

$x1=x0+h$

Áreas dos trapézios:

${{A}_{1}}=\frac{y0+y1}{2}.\left( h \right),~~{{A}_{2}}=\frac{y1+y2}{2}.\left( h \right),~~{{A}_{n}}=\frac{{{y}_{n+1}}+{{y}_{n}}}{2}.\left( h \right)$

Fórmula do método

metodo trapezios


Exemplo de aplicação


1)Use a fórmula dos trapézios (n = 10) para calcular com 3 casas:

$a)\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{e}^{x}}}{1+sen\left( x \right)}}~~dx$

Resolução:

Calculando o intervalo (h)

$h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-1}{10}=0,1$

Como “n” é igual a 10, vamos montar uma tabela com 10 valores que vão de 1 (x1) até 2 (x10) e com intervalo h (0,1) a cada valor de x.

tabela metodo trapezio

Para descobrir os valores de y, substituem-se os valores de x na equação e calcula se os y:

tabela valores x e y

Depois calculamos Σyi:

tabela valores completa
Usando a fórmula dos trapézios

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}=h\left[ \left( \frac{y0+yn}{2} \right)+\sum{yi} \right]\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}=0,1\left[ \left( \frac{1,476+3,870}{2} \right)+21,186 \right]\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}=2,386$


Método de Simpson


Creditado a Thomas Simpson, o Método de Simpson consiste na aproximação da função contínua f(x) no intervalo [a, b] por uma função de segunda ordem, ou seja, na aproximação de uma curva por uma parábola.


Fórmula deste método:


metodo de simpson

Exemplo de aplicação


1) Use a Fórmula de Simpson (n = 10) para calcular com 3 casas:

$a)\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}\sqrt{8-{{\cos }^{2}}\left( x \right)}}~~dx$

Resolução:

Calculando o intervalo (h)

$h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{10}=0,1$

Como “n” é igual a 10, vamos montar uma tabela com 10 valores que vão de 0 (x1) até 1 (x10) e com intervalo h (0,1) a cada valor de x.

tabela metodo de simpson

Para descobrir os valores de y, substituem-se os valores de x na equação e calcula se os valores de y. 

tabela valores de x  y 2

Usando a fórmula do método de Simpson:

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)=\frac{h}{3}}.\left[ \left( y0+yn \right)+4\sum{{{y}_{impares}}+2\sum{{{y}_{pares}}+}} \right]\Rightarrow $

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)=\frac{0,1}{3}}.\left[ \left( 2,646+1,021 \right)+4\left( 8,493 \right)+2\left( 6,682 \right) \right]\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)=1,700}$

Referências

  • Notas de Cálculo Numérico, Profº Joaquim, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011. 
  • Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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