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Integração numérica – Método dos Trapézios e de Simpson

Nas aulas de cálculo integral e diferencial, você aprendeu o Teorema Fundamental, para calcular a área de um gráfico:

determinacao area grafico

Cálculo da área

$A=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}~dx=\left. F\left( x \right) \right|_{a}^{b}=F\left( b \right)-F\left( a \right)$

... em que F(x) é a primitiva de f (x).

Já em cálculo numérico, você aprende técnicas de integração numérica que são empregadas na determinação da área de gráficos, sendo essas técnicas muito usadas em casos que a integral não possui uma solução analítica. Nesta postagem, eu vou demonstrar dois métodos de integração numérica: o método dos trapézios e o método de Simpson.

Método dos Trapézios


O método dos trapézios consiste basicamente em aproximar o valor da função de f(x) no intervalo [a, b] por uma função de primeira ordem; isto, geometricamente, equivale a aproximar uma curva qualquer por uma reta, conforme mostra a figura abaixo.

metodo trapezios integração numerica

$x1=x0+h$

Áreas dos trapézios:

${{A}_{1}}=\frac{y0+y1}{2}.\left( h \right),~~{{A}_{2}}=\frac{y1+y2}{2}.\left( h \right),~~{{A}_{n}}=\frac{{{y}_{n+1}}+{{y}_{n}}}{2}.\left( h \right)$

Fórmula do método

metodo trapezios


Exemplo de aplicação


1)Use a fórmula dos trapézios (n = 10) para calcular com 3 casas:

$a)\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{e}^{x}}}{1+sen\left( x \right)}}~~dx$

Resolução:

Calculando o intervalo (h)

$h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-1}{10}=0,1$

Como “n” é igual a 10, vamos montar uma tabela com 10 valores que vão de 1 (x1) até 2 (x10) e com intervalo h (0,1) a cada valor de x.

tabela metodo trapezio

Para descobrir os valores de y, substituem-se os valores de x na equação e calcula se os y:

tabela valores x e y

Depois calculamos Σyi:

tabela valores completa
Usando a fórmula dos trapézios

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}=h\left[ \left( \frac{y0+yn}{2} \right)+\sum{yi} \right]\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}=0,1\left[ \left( \frac{1,476+3,870}{2} \right)+21,186 \right]\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}=2,386$


Método de Simpson


Creditado a Thomas Simpson, o Método de Simpson consiste na aproximação da função contínua f(x) no intervalo [a, b] por uma função de segunda ordem, ou seja, na aproximação de uma curva por uma parábola.


Fórmula deste método:


metodo de simpson

Exemplo de aplicação


1) Use a Fórmula de Simpson (n = 10) para calcular com 3 casas:

$a)\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}\sqrt{8-{{\cos }^{2}}\left( x \right)}}~~dx$

Resolução:

Calculando o intervalo (h)

$h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{10}=0,1$

Como “n” é igual a 10, vamos montar uma tabela com 10 valores que vão de 0 (x1) até 1 (x10) e com intervalo h (0,1) a cada valor de x.

tabela metodo de simpson

Para descobrir os valores de y, substituem-se os valores de x na equação e calcula se os valores de y. 

tabela valores de x  y 2

Usando a fórmula do método de Simpson:

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)=\frac{h}{3}}.\left[ \left( y0+yn \right)+4\sum{{{y}_{impares}}+2\sum{{{y}_{pares}}+}} \right]\Rightarrow $

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)=\frac{0,1}{3}}.\left[ \left( 2,646+1,021 \right)+4\left( 8,493 \right)+2\left( 6,682 \right) \right]\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)=1,700}$

Referências

  • Notas de Cálculo Numérico, Profº Joaquim, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011. 
  • Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

2 Comentários de "Integração numérica – Método dos Trapézios e de Simpson "

Excelente matéria sobre cálculo de área que é útil na minha área (sou engenheiro eletricista e mecânico e trabalho com ensaios de maquinas de usinas hidrelétricas. Existe um método para medida de vazão absoluta que se baseia no cálculo da área da curva pressão tempo dada pelo golpe de ariete ao fechar o distribuidor da turbina. A área sob a curva permite o calculo da vazão absoluta, a potencia hidráulica e o rendimento da turbina. Gostaria de saber se o método de Simpson tem uma melhor exatidão que o dos trapézios ou dos retângulos. Muito obrigado.........

Olá anônimo

O método de Simpson é realmente um pouco mais preciso do que o método dos trapézios e eu até recomendo a utilização desse método :)

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