Interpolação Polinomial - Polinômio Interpolador de Lagrange

POR Pedro Coelho

Publicado: sexta-feira, 19 de fevereiro de 2016

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A interpolação polinomial é uma operação matemática em que a função interpoladora é um polinômio. Essa operação consiste basicamente em achar o polinômio P(xi) que se adapta a uma tabela de pares ordenados.

Polinômio Interpolador de Lagrange

Publicado por Joseph Louis Lagrange em 1795, o método de interpolação polinomial de Lagrange é um método simples e, eu, nessa postagem, vou demonstrar esse método através de um exemplo.

Retrato de Joseph Louis Lagrange

Exemplo de Aplicação

Para ilustrar o Método de Lagrange, vamos usar a tabela:

Para poder encontrar o polinômio de Lagrange, vamos usar a fórmula geral da matriz de Lagrange (nxn):

Agora, usando essa fórmula, vamos montar a matriz com os dados da tabela:

Em seguida, vamos calcular o denominador de cada linha:

(-1).(-2).(-5) = -10

(1).(-1).(-4) = 4

(2).(1).(-3) = -6

(5).(4).(3) = 60

Agora vamos formar o P(xi) a partir de 4 frações:

$P\left( xi \right)=\frac{y1\left( x-x1 \right).\left( x-x2 \right).\left( x-xn \right)}{\text{denominador1}}+\frac{y2\left( x-x0 \right).\left( x-x2 \right).\left( x-xn \right)}{\text{denominador2}}+\frac{y3\left( x-x0 \right).\left( x-x1 \right).\left( x-xn \right)}{\text{denominador3}}+\frac{y4\left( x-x0 \right).\left( x-x1 \right).\left( x-x2 \right)}{\text{denominador}4}\Rightarrow $

$P\left( xi \right)=\frac{7\left( x-2 \right).\left( x-3 \right).\left( x-6 \right)}{-10}+\frac{12\left( x-1 \right).\left( x-3 \right).\left( x-6 \right)}{4}+\frac{35\left( x-1 \right).\left( x-2 \right).\left( x-6 \right)}{-6}+\frac{332\left( x-1 \right).\left( x-2 \right).\left( x-3 \right)}{60}\Rightarrow$

$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{7\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right).\left( x-6 \right)}{-10}+\frac{12\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right).\left( x-6 \right)}{4}+\frac{35\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right).\left( x-6 \right)}{-6}+\frac{332\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right).\left( x-3 \right)}{60}\Rightarrow $

$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{7\left( {{x}^{3}}-11{{x}^{2}}+36x-36 \right)}{-10}+\frac{12\left( {{x}^{3}}-10{{x}^{2}}+27x-18 \right)}{4}+\frac{35\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+20x-12 \right)}{-6}+\frac{332\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+11x-6 \right)}{60}\Rightarrow $

Simplificando a equação:

$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{-7\left( {{x}^{3}}-11{{x}^{2}}+36x-36 \right)}{10}+\frac{3\left( {{x}^{3}}-10{{x}^{2}}+27x-18 \right)}{1}+\frac{-35\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+20x-12 \right)}{6}+\frac{83\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+11x-6 \right)}{15}\Rightarrow $

Fazendo o MMC (Mínimo Múltiplo Comum):

$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{-21.\left( {{x}^{3}}-11{{x}^{2}}+36x-36 \right)+90\left( {{x}^{3}}-10{{x}^{2}}+27x-18 \right)-175\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+20x-12 \right)+166\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+11x-6 \right)}{30}\Rightarrow $

Simplificando:

$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{\left( -21{{x}^{3}}+231{{x}^{2}}-756x+756 \right)+\left( 90{{x}^{3}}-900{{x}^{2}}+2430x-1620 \right)+\left( -175{{x}^{3}}+1575{{x}^{2}}-3500x+2100 \right)+\left( 166{{x}^{3}}-996{{x}^{2}}+1826x-996 \right)}{30}\Rightarrow $

Logo:

$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{60{{x}^{3}}-90{{x}^{2}}+240}{30}=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8$

$P\left( xi \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8$

Referências

• Notas de Cálculo Numérico, Profº Joaquim, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011. 
• Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico com Pós Graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho e também sou Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, eu conclui recentemente o curso de Engenharia Civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)