Interpolação Polinomial - Polinômio Interpolador de Lagrange

A interpolação polinomial é uma operação matemática em que a função interpoladora é um polinômio. Essa operação consiste basicamente em achar o polinômio P(xi) que se adapta a uma tabela de pares ordenados.

A interpolação polinomial de Lagrange serve para encontrar uma função polinomial desconhecida que passe exatamente por um conjunto de pontos tabelados. Ela é amplamente utilizada no Cálculo Numérico quando temos dados experimentais (como em laboratórios de Engenharia Química) e precisamos estimar valores intermediários."

Publicado por Joseph Louis Lagrange em 1795, o método de interpolação polinomial de Lagrange é um dos métodos mais elegantes e diretos do Cálculo Numérico para aproximar funções ou preencher lacunas em tabelas de dados experimentais. 

OBS: observando a tabela vemos que: x0 = 1, x1 = 2 , x2 =3 , e xn = 6 .

Em seguida, vamos calcular o denominador de cada linha:

(-1).(-2).(-5) = -10

(1).(-1).(-4) = 4

(2).(1).(-3) = -6

(5).(4).(3) = 60
Agora vamos formar o P(xi) a partir de 4 frações:


$P\left( xi \right)=\frac{y1\left( x-x1 \right).\left( x-x2 \right).\left( x-xn \right)}{\text{denominador1}}+\frac{y2\left( x-x0 \right).\left( x-x2 \right).\left( x-xn \right)}{\text{denominador2}}$

$+\frac{y3\left( x-x0 \right).\left( x-x1 \right).\left( x-xn \right)}{\text{denominador3}}+\frac{y4\left( x-x0 \right).\left( x-x1 \right).\left( x-x2 \right)}{\text{denominador}4}\Rightarrow $


$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{7\left( x-2 \right).\left( x-3 \right).\left( x-6 \right)}{-10}+\frac{12\left( x-1 \right).\left( x-3 \right).\left( x-6 \right)}{4}$

$+\frac{35\left( x-1 \right).\left( x-2 \right).\left( x-6 \right)}{-6}+\frac{332\left( x-1 \right).\left( x-2 \right).\left( x-3 \right)}{60}\Rightarrow $


$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{7\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right).\left( x-6 \right)}{-10}+\frac{12\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right).\left( x-6 \right)}{4}$

$+\frac{35\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right).\left( x-6 \right)}{-6}+\frac{332\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right).\left( x-3 \right)}{60}\Rightarrow $

$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{7\left( {{x}^{3}}-11{{x}^{2}}+36x-36 \right)}{-10}+\frac{12\left( {{x}^{3}}-10{{x}^{2}}+27x-18 \right)}{4}$

$+\frac{35\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+20x-12 \right)}{-6}+\frac{332\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+11x-6 \right)}{60}\Rightarrow $

 

Simplificando a equação:


$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{-7\left( {{x}^{3}}-11{{x}^{2}}+36x-36 \right)}{10}+\frac{3\left( {{x}^{3}}-10{{x}^{2}}+27x-18 \right)}{1}$

$+\frac{-35\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+20x-12 \right)}{6}+\frac{83\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+11x-6 \right)}{15}\Rightarrow $

Simplificando:


$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{\left( -21{{x}^{3}}+231{{x}^{2}}-756x+756 \right)+\left( 90{{x}^{3}}-900{{x}^{2}}+2430x-1620 \right)}{30}$

$\frac{+\left( -175{{x}^{3}}+1575{{x}^{2}}-3500x+2100 \right)+\left( 166{{x}^{3}}-996{{x}^{2}}+1826x-996 \right)}{30}\Rightarrow $

 
Logo:

$\Rightarrow P\left( xi \right)=\frac{60{{x}^{3}}-90{{x}^{2}}+240}{30}=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8\Rightarrow$

$P\left( xi \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8$

Como automatizar a Interpolação de Lagrange com Python

Fazer toda essa álgebra manualmente pode gerar erros facilmente em provas ou rotinas de engenharia. Na prática profissional, utilizamos linguagens computacionais como o Python para resolver esses cálculos instantaneamente. Veja o script abaixo utilizando a biblioteca SciPy:

from scipy.interpolate import lagrange
import numpy as np

# Dados experimentais da tabela (x e y)
x = np.array([0, 1, 2, -1])
y = np.array([8, 7, 12, 3])

# Executa o algoritmo de Lagrange
polinomio = lagrange(x, y)

# Exibe a expressão algébrica do polinômio resultante
print("O polinômio interpolador gerado é:")
print(np.poly1d(polinomio))

Ao rodar o código, o Python retornará exatamente a nossa equação simplificada manual: 

2 x³ - 3 x² + 8.

Perguntas Frequentes (FAQ) e Limitações do Método

1. Qual a diferença entre o Método de Lagrange e o Método de Newton?

Ambos os métodos geram exatamente o mesmo polinômio interpolador final. A diferença está no esforço de cálculo. Lagrange é excelente quando você precisa da expressão analítica direta para um conjunto fixo de pontos. 

Já o Método de Newton (Diferenças Divididas) é muito superior se você precisar adicionar novos pontos experimentais à sua tabela posteriormente, pois ele reaproveita os cálculos anteriores.

2. O que é o Fenômeno de Runge e quando evitar Lagrange?

Referências

• Notas de Cálculo Numérico, Profº Joaquim, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011. 
• Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.