Integral definida e determinação da área

A Integral Definida é uma integral que é restrita aos valores de um intervalo específico, e é muito usada na área de cálculo integral e diferencial, para a determinação da área de um gráfico.

Definição da Integral Definida


Seja uma função F(x) a primitiva de f(x), logo temos:

$\int_{a}^{b}{f\left( x \right)}~~dx=\left. F\left( x \right) \right|_{a}^{b}$

Em que “a” vai ser o seu limite inferior de integração e “b” o limite superior da integração.

$\left. F\left( x \right) \right]_{a}^{b}=F\left( b \right)-F\left( a \right)$

Exemplo de aplicação:

$\int\limits_{-1}^{2}{{{x}^{4}}dx=}\left. \frac{{{x}^{5}}}{5}+C \right]_{-1}^{2}\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{-1}^{2}{{{x}^{4}}dx=}\left( \frac{{{2}^{5}}}{5}+C \right)-\left( \frac{\left( -{{1}^{5}} \right)}{5}+C \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{-1}^{2}{{{x}^{4}}dx=}\left( \frac{32}{5}+C \right)-\left( \frac{-1}{5}+C \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{-1}^{2}{{{x}^{4}}dx=}\frac{32}{5}+C+\frac{1}{5}-C\Rightarrow $


$\Rightarrow \int\limits_{-1}^{2}{{{x}^{4}}dx=}\frac{33}{5}$

Área sob o gráfico de uma função


Um dos objetivos do estudo das integrais é determinar a área de uma região representada em um gráfico. Por exemplo, seja f(x) uma função contínua representada abaixo:
area sob grafico função
A área da região compreendida pelo gráfico de f(x) e os valores do eixo da abscissa no intervalo I = [a, b] é obtida por:

$A=\int_{a}^{b}{f\left( x \right)}~~dx\Rightarrow A=F\left( b \right)-F\left( a \right)$


Exercícios de Aplicação


1) Calcule a área da função f(x) = 8 - (2x/3) e a integral compreendida no intervalo I= [3,9], no eixo da abcissa.

determinando area grafico integral

Resolução

$\int\limits_{3}^{9}{8-\frac{2x}{3}}~dx=\left. 8x-\frac{2}{3}.\frac{{{x}^{2}}}{2}+C \right]_{3}^{9}\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{3}^{9}{8-\frac{2x}{3}}~dx=\left. 8x-\frac{{{x}^{2}}}{3}+C \right]_{3}^{9}\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{3}^{9}{8-\frac{2x}{3}}~dx=\left( 8\left( 9 \right)-\frac{\left( {{9}^{2}} \right)}{3}+C \right)-\left( 8\left( 3 \right)-\frac{\left( {{3}^{2}} \right)}{3}+C \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{3}^{9}{8-\frac{2x}{3}}~dx=\left( 72-27+C \right)-\left( 24-3+C \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \int\limits_{3}^{9}{8-\frac{2x}{3}}~dx=24$

2)Calcule a área sob o gráfico da função f(x) = - x² +4x -5 e o eixo das abscissas entre os pontos 1 a 3.

$f\left( x \right)=-{{x}^{2}}+4x-5\Rightarrow $

$\Rightarrow \Delta =\left( {{4}^{2}} \right)-4\left( -1 \right)\left( -5 \right)=-4$

Calculando xv e yv, vértice do gráfico:

${{x}_{V}}=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$

${{y}_{V}}=\frac{\Delta }{4a}=\frac{4}{-4}=-1$

Logo,

$v\left( 2,-1 \right)$

Montando o gráfico:

Determinando area grafico parabola integral

$A=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}~dx\Rightarrow A$

$A=\int\limits_{1}^{3}{-{{x}^{2}}}+4x-5~dx=\left. \frac{-{{x}^{3}}}{3}+\frac{4{{x}^{2}}}{2}-5x \right]_{1}^{3}\Rightarrow $

$\Rightarrow A=\int\limits_{1}^{3}{-{{x}^{2}}}+4x-5~dx=\left. \frac{-{{x}^{3}}}{3}+\frac{4{{x}^{2}}}{2}-5x+C \right]_{1}^{3}\Rightarrow $

$\Rightarrow A=\int\limits_{1}^{3}{-{{x}^{2}}}+4x-5~dx=\left( \frac{\left( -{{3}^{3}} \right)}{3}+\frac{4\left( {{3}^{2}} \right)}{2}-5\left( 3 \right)+C \right)-\left( \frac{\left( -{{1}^{3}} \right)}{3}+\frac{4\left( {{1}^{2}} \right)}{2}-5\left( 1 \right)+C \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow A=\int\limits_{1}^{3}{-{{x}^{2}}}+4x-5~dx=\left( -9+18-15+C \right)-\left( -\frac{1}{3}+2-5+C \right)=\frac{-8}{3}$

Observação: A medida de uma área é um número não negativo, logo se f ( x ) <  0 em I = [ a ,b ] então –  f ( x ) > 0 no mesmo intervalo, deste modo podemos expressar :

$A=\int\limits_{a}^{b}{-f\left( x \right)}~dx=-\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}~dx$

Simplificando,

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}~dx=-A$

Portanto desta forma podemos ter:

determinando area grafico parabola usando integral

$A=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}~dx\Rightarrow $

$A={{A}_{1}}-{{A}_{2}}+{{A}_{3}}$


Propriedade da área


Dada uma função f(x), a área compreendida sob o gráfico e o eixo das abscissas em um intervalo I = [a,d], e sendo b e c dois pontos quaisquer do intervalo I , teremos então:

$A=\int\limits_{a}^{d}{f\left( x \right)}~dx\Rightarrow $

$A=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}~dx+\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)}~dx+\int\limits_{c}^{d}{f\left( x \right)}~dx$

3)Dê a área da região entre o gráfico da função f(x) = x² -4x e o eixo x , compreendido no intervalo I = [-1,3]

Determinando area grafico parabola usando integral

Resolução

f(x) = x² -4x
x(x-4) = 0
ou x = 0,
ou x=4.

$A=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow A={{A}_{1}}-{{A}_{2}}=\int\limits_{-1}^{0}{{{x}^{2}}-4x}~dx-\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{2}}-4x}~~dx$

Calculando a área 1:

${{A}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{{{x}^{2}}-4x}~dx=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{4{{x}^{2}}}{2} \right|_{-1}^{0}\Rightarrow $

$\Rightarrow {{A}_{1}}=\left( \frac{\left( {{0}^{3}} \right)}{3}-\frac{4\left( {{0}^{2}} \right)}{2} \right)-\left( \frac{\left( -{{1}^{3}} \right)}{3}-\frac{4\left( -{{1}^{2}} \right)}{2} \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow {{A}_{1}}=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$

Calculando a área 2:

${{A}_{2}}=\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{2}}-4x}~dx=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{4{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{3}\Rightarrow $

$\Rightarrow {{A}_{2}}=\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{2}}-4x}~dx=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{4{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{3}\Rightarrow $

$\Rightarrow {{A}_{2}}=\left( \frac{\left( {{3}^{3}} \right)}{3}-\frac{4\left( {{3}^{2}} \right)}{2} \right)-\left( \frac{\left( {{0}^{3}} \right)}{3}-\frac{4\left( {{0}^{2}} \right)}{2} \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow {{A}_{2}}=9-18=-9$

Logo:

$\Rightarrow {{A}_{total}}=\frac{7}{3}-\left( -9 \right)=\frac{34}{3}$

4)Calcule a área compreendida pela função f(x) = x³ -2x² -5x +6 e o eixo x no intervalo I = [-2,2]:


determinando area grafico parabola usando integral

Resolução:

${{A}_{total}}={{A}_{1}}-{{A}_{2}}\Rightarrow $

${{A}_{total}}=\int\limits_{-2}^{1}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+6~~dx}-\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+6~~dx}\Rightarrow $

Calculando a área 1:

${{A}_{1}}=\int\limits_{-2}^{1}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+6~~dx}=\left. \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{2{{x}^{3}}}{3}-\frac{5{{x}^{2}}}{2}+6x \right|_{-2}^{1}\Rightarrow $

${{A}_{1}}=\left( \frac{\left( {{1}^{4}} \right)}{4}-\frac{2\left( {{1}^{3}} \right)}{3}-\frac{5\left( {{1}^{2}} \right)}{2}+6\left( 1 \right) \right)-\left( \frac{\left( -{{2}^{4}} \right)}{4}-\frac{2\left( -{{2}^{3}} \right)}{3}-\frac{5\left( -{{2}^{2}} \right)}{2}+6\left( -2 \right) \right)\Rightarrow $

${{A}_{1}}=\left( \frac{1}{4}-\frac{2}{3}-\frac{5}{2}+6 \right)-\left( \frac{16}{4}+\frac{16}{3}-10-12 \right)=\frac{189}{12}$

Calculando a área 2:

${{A}_{2}}=\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+6~~dx}=\left. \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{2{{x}^{3}}}{3}-\frac{5{{x}^{2}}}{2}+6x \right|_{1}^{2}\Rightarrow $

${{A}_{2}}=\left( \frac{\left( {{2}^{4}} \right)}{4}-\frac{2\left( {{2}^{3}} \right)}{3}-\frac{5\left( {{2}^{2}} \right)}{2}+6\left( 2 \right) \right)-\left( \frac{\left( {{1}^{4}} \right)}{4}-\frac{2\left( {{1}^{3}} \right)}{3}-\frac{5\left( {{1}^{2}} \right)}{2}+6\left( 1 \right) \right)\Rightarrow $

${{A}_{2}}=\left( \frac{16}{4}-\frac{16}{3}-10+12 \right)-\left( \frac{1}{4}-\frac{2}{3}-\frac{5}{2}+6 \right)=\frac{-29}{12}$

Logo,

${{A}_{total}}={{A}_{1}}-{{A}_{2}}=\frac{189}{12}-\left( \frac{-29}{12} \right)=\frac{218}{12}=\frac{109}{6}$

Referências

  • Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011. 
  • Notas de aula de Cálculo Integral e Diferencial, Prof. Carlos Lúcio Benjamin, São Paulo, 2010.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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