Equação de Bernoulli

Deduzida pelo matemático suíço Daniel Bernoulli e publicada na sua obra “Hidrodinâmica” em 1738, a Equação de Bernoulli (também conhecida como princípio de Bernoulli, Trinômio de Bernoulli, ou ainda Teorema de Bernoulli) descreve o comportamento de um fluido ao longo de uma corrente.
retrato daniel bernoulli image
Retrato de Daniel Bernoulli
Ela relaciona as variações de pressão (P) com a velocidade média (v) de um fluido incompressível e o desnível (z) entre os pontos de análise ao longo do escoamento, podendo ser expressa por:

$\frac{{{P}_{1}}}{\gamma }+\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2g}+{{z}_{1}}=\frac{{{P}_{2}}}{\gamma }+\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2g}+{{z}_{2}}$

Ou por

$\frac{{{P}_{1}}}{\gamma }+\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2g}+{{z}_{1}}+H=\frac{{{P}_{2}}}{\gamma }+\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2g}+{{z}_{2}}+lw$

Sendo:
  • P1 e P2 as pontos de pressões nos pontos 1 e 2;
  • V1 e v2 as velocidades nos pontos 1 e 2;
  • g é a aceleração da gravidade, igual a aproximadamente 9,81 m/s²;
  • z1 e z2 são as alturas em relação a um nível de referência;
  • H a altura manométrica;
  • lw a perda de carga.

Exercícios de aplicação


1) O tanque da figura abaixo descarrega água por uma tubulação. Sendo o tanque de grandes dimensões e o fluído considerado perfeito, determine a vazão em volume de água descarregada em litros/segundo se a área da seção do tubo é 0,001 m².

Dado : aceleração da gravidade igual a 10 m/s².

esquema exercicio equacao de bernoullli

Resolução

$\frac{{{P}_{1}}}{\gamma }+\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2g}+{{z}_{1}}=\frac{{{P}_{2}}}{\gamma }+\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2g}+{{z}_{2}}\Rightarrow $

Como as pressões são atmosféricas e v1 é considerado desprezível pelo nível do tanque, logo:

$\Rightarrow {{z}_{1}}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2g}+{{z}_{2}}\Rightarrow $

$\Rightarrow 10m=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2\left( 10m/{{s}^{2}} \right)}+0\Rightarrow $

$\Rightarrow {{v}_{2}}^{2}=200\frac{{{m}^{2}}}{{{s}^{2}}}\Rightarrow {{v}_{2}}=\sqrt{200\frac{{{m}^{2}}}{{{s}^{2}}}}=14,14m/s$

Logo, aplicando a equação da continuidade,

${{Q}_{2}}=v.a=14,14m/s.\left( 0,00\text{1 }{{\text{m}}^{\text{2}}} \right)=0,01414~{{m}^{3}}/s$

Convertendo unidades,

${{Q}_{2}}=\frac{0,01414~{{m}^{3}}}{s}.\frac{1000L}{1{{m}^{3}}}=\frac{14,14L}{s}$

2) Calcule a altura manométrica da Bomba 01 para o sistema da figura abaixo.

esquema exercicio equação bernoullli

$\text{Dados}:\text{ }{{\text{P}}_{\text{man}}}=\frac{\text{10000 kgf}}{{{\text{m}}^{\text{2}}}},\text{ }{{\text{P}}_{\text{vac}}}~\text{= }\frac{\text{1000 kgf}}{{{\text{m}}^{\text{2}}}},\text{ }\gamma =\frac{\text{1000 kgf}}{{{\text{m}}^{\text{3}}}}\text{ e lw}{{\text{ }}_{\text{1}-\text{2}}}=0,10m$

Resolução

$\frac{{{P}_{1}}}{\gamma }+\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2g}+{{z}_{1}}+H=\frac{{{P}_{2}}}{\gamma }+\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2g}+{{z}_{2}}+l{{w}_{1-2}}\Rightarrow $

Desprezando a variação de velocidade – o diâmetro do tubo é o mesmo nos dois pontos - e como não há desnível – ambos estão em um mesmo ponto de referência horizontal, logo:

$\Rightarrow \frac{{{P}_{1}}}{\gamma }+H=\frac{{{P}_{2}}}{\gamma }+l{{w}_{1-2}}\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{{{\frac{\text{1000 kgf}}{{{\text{m}}^{\text{2}}}}}_{1}}}{\frac{\text{1000 kgf}}{{{\text{m}}^{\text{3}}}}}+H=\frac{\frac{\text{10000 kgf}}{{{\text{m}}^{\text{2}}}}}{\frac{\text{1000 kgf}}{{{\text{m}}^{\text{3}}}}}+0,10m\Rightarrow $

$\Rightarrow H=9,1m$

Referências

  • Notas de Mecânica dos Fluidos, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
  • Notas de aula de Princípios de Engenharia Química II, Prof. Marlene Moraes, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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