Segmentos colineares

Os segmentos colineares são segmentos em que todos os pontos pertencem à mesma reta. Um exemplo disso é a reta abaixo, sendo os pontos A, F, B e G pertencentes à mesma reta.

Exercícios de Aplicação

1) Sendo P =(5,3,1) e Q = (9,-2,4), encontre os valores de M e R

Resolução

Como a distância de R a Q é igual à de Q a P e a de P a M, podemos concluir que a medida de Q a M e de P a R deve ser o dobro, e logo, devemos dobrar o valor para descobrir as distâncias de Q a M e P a R.

Aplicando:

$\left| QM \right|=2.\left| QP \right|~~~e~~~\left| PR \right|=2.\left| PQ \right|$

Calculando $\left| QP \right|~~~e~~\left| PQ \right|$ ­

$\left| QP \right|~~=\left( P-Q \right)=\left( 5,3,1 \right)-\left( 9,-2,4 \right)=\left( -4,5,-3 \right)$

$~\left| PQ \right|=\left( Q-P \right)=\left( 9,-2,4 \right)-\left( 5,3,1 \right)=\left( 4,-5,3 \right)$

Obtendo o valor de M

$\left| QM \right|=2.\left| QP \right|\Rightarrow $

$M-Q=2\left( P-Q \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow M=Q+2.\left( -4,5,-3 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow M=\left( 9,-2,4 \right)+2.\left( -4,5,-3 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow M=\left( 9,-2,4 \right)+\left( -8,10,-6 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow M=\left( 1,8,-2 \right)$

Obtendo o valor de R

$\left| PR \right|=2.\left| PQ \right|\Rightarrow $

$\Rightarrow R-P=2.\left( Q-P \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow R=P+2.\left( Q-P \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow R=\left( 5,3,1 \right)+2.\left( 4,-5,3 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow R=\left( 5,3,1 \right)+\left( 8,-10,6 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow R=\left( 13,-7,7 \right)$

2) Encontre as coordenadas de P que divide $\overrightarrow{AB}$ na razão 4 para 8, sendo A= (2,4,8) e B=(6,3,6).

Resolução

Como o ponto P está dividindo o segmento $\overrightarrow{AB}$ na razão 4 para 8, nós podemos dividir o segmento em 12 partes, sendo que o ponto P estará há 4 seções de A e 8 seções de B.

Com isso, nos podemos expressar P-A como combinação linear de B-A.

Logo:

$12.\left( P-A \right)=4\left( B-A \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \left( P-A \right)=\frac{4}{12}\left( B-A \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \left( P-A \right)=\frac{1}{3}\left( \left( 2,4,8 \right)-\left( 6,3,6 \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \left( P-A \right)=\frac{1}{3}\left( -4,1,2 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow P=\frac{1}{3}\left( -4,1,2 \right)+A\Rightarrow $

$\Rightarrow P=\frac{1}{3}\left( -4,1,2 \right)+\left( 2,4,8 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow P=\left( \frac{-4}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3} \right)+\left( 2,4,8 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow P=\left( \frac{2}{3},\frac{13}{3},\frac{26}{3} \right)$

Referências

• Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra linear, Sergio R. Lara, Santos, São Paulo, 2010