Dada uma função y = F(x), em que f '(x) é sua derivada, sabemos que a integral da derivada de f ' (x) é uma função F(x), sendo a integral dessa função igual a F(x) + C.
Deste modo, temos infinitas funções que se diferenciam através da constante C, sendo que se for dado F (x0) = y0, poderemos determinar o valor da constante.
Seja F(x) uma função onde sua derivada $f'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2}-5x+\frac{3}{{{x}^{2}}}$ e F(-1)=1
Vamos determinar essa função f(x):
$f'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2}-5x+\frac{3}{{{x}^{2}}}$
Integrando a equação:
$\int{f'\left( x \right)~~dx=\frac{1}{2}.\frac{{{x}^{2+1}}}{2+1}-\frac{5{{x}^{1+1}}}{1+1}+\frac{3{{x}^{-2+1}}}{-2+1}+C\Rightarrow }$
$\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{1}{2}.\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{5{{x}^{2}}}{2}+\frac{3{{x}^{-1}}}{-1}+C\Rightarrow $
$\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{6}-\frac{5{{x}^{2}}}{2}-\frac{3}{x}+C$
Sabendo que F(-1) = 1
$1=\frac{{{\left( -1 \right)}^{3}}}{6}-\frac{5{{\left( -1 \right)}^{2}}}{2}-\frac{3}{\left( -1 \right)}+C\Rightarrow $
$\Rightarrow 1=-\frac{1}{6}-\frac{5}{2}+3+C\Rightarrow $
$\Rightarrow C=1+\frac{1}{6}+\frac{5}{2}-3=C=\frac{6+1+15-18}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Exercícios Resolvidos de Aplicação
1)Determine o valor da constante das integrais das equações abaixo:
$a)f'\left( x \right)=4{{x}^{2}}+8x+4~~e~F\left( 4
\right)=0$
$\int{f'\left(
x
\right)~~dx=\frac{4{{x}^{2+1}}}{2+1}+\frac{8{{x}^{1+1}}}{1+1}+4x~+C~\Rightarrow
}$
$\Rightarrow F\left( x
\right)=\frac{4{{x}^{3}}}{3}+\frac{8{{x}^{2}}}{2}+4x~+C~\Rightarrow $
$\Rightarrow F\left( x
\right)=\frac{4{{x}^{3}}}{3}+4{{x}^{2}}+4x~+C~\Rightarrow $
Sabendo que F(4) = 0:
$\Rightarrow 0=\frac{4\left( {{4}^{3}}
\right)}{3}+4{{\left( 4 \right)}^{2}}+4\left( 4 \right)~+C~\Rightarrow $
$\Rightarrow 0=\frac{4\left( {{4}^{3}} \right)}{3}+4{{\left(
4 \right)}^{2}}+4\left( 4 \right)~+C~\Rightarrow $
$\Rightarrow C=-\frac{4\left( {{4}^{3}}
\right)}{3}-4{{\left( 4 \right)}^{2}}-4\left( 4 \right)~~=-165,33$
$b)f'\left( x \right)=3{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+9~~e~~F\left( 3
\right)=0$
$\int{f'\left( x
\right)~~dx=\frac{3{{x}^{4+1}}}{4+1}-\frac{3{{x}^{2+1}}}{2+1}+9}x+C\Rightarrow
$
$\Rightarrow F\left( x
\right)=\frac{3{{x}^{5}}}{5}-\frac{3{{x}^{3}}}{3}+9x+C\Rightarrow $
$\Rightarrow F\left( x
\right)=\frac{3{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+9x+C$
Sabendo que F(3) = 0:
$0=\frac{3{{\left( 3 \right)}^{5}}}{5}-{{\left( 3
\right)}^{3}}+9\left( 3 \right)+C\Rightarrow $
$C=-\frac{3{{\left( 3 \right)}^{5}}}{5}+{{\left( 3
\right)}^{3}}-9\left( 3 \right)=-145,8$
$c)f'\left( x \right)=-2{{x}^{3}}-4x-2~~e~~F\left( 2 \right)=4$
$\Rightarrow F\left( x
\right)=-\frac{2{{x}^{4}}}{4}-\frac{4{{x}^{2}}}{2}-2x~+C\Rightarrow $
$\Rightarrow F\left( x \right)=-\frac{2{{x}^{4}}}{4}-\frac{4{{x}^{2}}}{2}-2x~+C\Rightarrow $
Sabendo que F(2) = 4:
$4=\frac{-\left( {{2}^{4}} \right)}{2}-2\left(
{{2}^{2}} \right)-2\left( 2 \right)~+C\Rightarrow$
$C=+\frac{\left( {{2}^{4}} \right)}{2}+2\left( {{2}^{2}} \right)+2\left( 2 \right)~+4\Rightarrow C=24$
$C=+\frac{\left( {{2}^{4}} \right)}{2}+2\left( {{2}^{2}} \right)+2\left( 2 \right)~+4\Rightarrow C=24$
Postagem em formato de vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=6T9Mf-ibcaw
Referências
- Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
- Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Professor Lucio, UNISANTA, Santos, São Paulo, 2010.
Sobre o autor
Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)
3 Comentários de "Determinando o Valor da Constante de uma Integral: Exercícios Resolvidos"
Muito bom Pedro parabéns...
sou aluno do 8 semestre em licenciatura em matematica faculdade anhanguera e gostria de tirar essa duvida em relação a uma questao de constante que nao consegui encontrar o resultado f(x)= X4-3X2+4 os pontos são:(3,4) na prova esta como resultado assim: C= 47,6 ja fiz e refiz mais nao encontrei esse resultado, me ajudem por favor
Olá Igor
Pelos dados do exercício que você me forneceu, eu também não consegui chegar nesse valor. A questão não me parece estar relacionada com o tema do artigo.
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