Inequações do 1° e do 2° grau

Por Pedro Coelho

Publicado: quarta-feira, 31 de julho de 2013

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As Inequações do 1° e do 2° grau são sentenças matemáticas, com uma ou mais incógnitas, que são expressas por uma desigualdade, diferentemente das equações do 1° e do 2° grau, que são expressas por uma igualdade. Sendo que essa desigualdade pode ser representada através dos seguintes sinais :

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente

Inequação do 1º grau

São expressões de 1º grau na incógnita x, que são escritas nas seguintes formas:

ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.

Sendo a e b números reais e, a ≠ 0.

Exemplos:

1) 3x - 3 > 0 → 3x > 3 → x > 1

S = {x € R/ x > 1 }

Observação

Bolinha aberta, pois tem não igualdade no sinal da inequação , ou seja, não apresenta igualdade como nos sinais ≥ ( maior ou igual) e ≤ ( menor ou igual).

2) 6 -2x > 0 → -2x > -6 → x < 3

S = {x € R/ x < 3 }

Observações:

Quando se multiplica a inequação por (-1), o sinal da inequação inverte.

3) (x-1).(2-x) ≥ 0

y1 → (x1-1) ≥ 0 → x1 ≥ 1      S1 = { x1 € R/ x1≥ 1 }

y2 → (2-x2) ≥ 0 → x2 ≥ 2      S2 = { x2 € R/ x2 ≥ 2}

S = {x € R/ 1≤ x≤ 2 }

Observações:

• Quando multiplica por (-1), o sinal da inequação inverte. 
• 1º equação Bolinha fechada, pois tem igualdade no sinal da inequação 
• 2º equação Bolinha fechada, pois tem igualdade no sinal da inequação.

Inequação do 2ºgrau

São expressões de 2º grau na incógnita x, que podem ser resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. Sendo o resultado comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução. As inequações de 2º grau podem ser escritas nas seguintes formas:

ax² + bx + c > 0;
ax² + bx + c < 0;
ax² + bx + c ≥ 0;
ax² + bx + c ≤ 0.

Sendo a, b e c números reais e, a ≠ 0.

Exemplos :

a). x² -6x +5 ≤ 0

x² -6x +5 = 0
Δ = b²-4.a.c
Δ =(-6)2-4.(1).(5)
Δ= 36- 20= 16

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2.(1)}=\begin{matrix}
{{x}_{1}}=1 \\
{{x}_{2}}=5 \\ \end{matrix}$

S = {x€ R/ 1≤ x≤ 5}

b) 3x - x² ≥ 0

3x - x² = 0
Δ = b²-4.a.c
Δ =(3)2-4.(-1).(0)
Δ= 9

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-3\pm \sqrt{9}}{2.(-1)}=\begin{matrix}
{{x}_{1}}=0 \\
{{x}_{2}}=3 \\ \end{matrix}$

S = {x€ R/ 0 ≤ x≤ 3}

c) x² -4x +7 ≥ 0

x² -4x+7 = 0
Δ = b2-4.a.c
Δ =(-4)2-4.(-1).(7)
Δ= -12

Não há raiz real

S = {R}

$d)\frac{{{x}^{2}}-7}{x-4}\ge 0$

y1 = 0 → x²+7x = 0
x² + 7x= 0
Δ = b²-4.a.c
Δ =(-7)2-4.(1).(0)
Δ= 49

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-7\pm \sqrt{49}}{2.(1)}=\begin{matrix}
{{x}_{1}}=0 \\
{{x}_{2}}=7 \\ \end{matrix}$

S1 = {x € R/ 0≤ x≤ 7}

y2 = 0 → x-4 =0 → x = 4

S2 = {x € R/ x ≥ 4}

S = {x € R/ 0≤ x≤ 4 ou x ≥7 }

e) (3x-6). (x² -5x +4) ≥ 0

y1 → (3x1-6). ≥ 0 → x1 ≥ 2                                   S1 = { x1 € R/ x1 ≥ 2 }
y2 → (x² -5x +4) ≥ 0
Δ = b2-4.a.c
Δ =(-5)2-4.(1).(4)
Δ= 9

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2.(1)}=\begin{matrix}
{{x}_{1}}=1 \\
{{x}_{2}}=4 \\ \end{matrix}$

S = {x € R/ 1≤ x≤ 2 ou x ≥ 4 }

f) x²-6x +9 >0

x²-6x + 9 = 0
Δ = b2-4.a.c
Δ =(-6)2-4.(1).(9)
Δ= 0

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{6\pm \sqrt{0}}{2.(1)}=3$

S = {x € R / x < 3 e x > 3}

Referências

• http://www.brasilescola.com/matematica/inequacao-segundo-grau.htm (Acessado em 05/07/2013 as 11:26)
• Notas de Aulas Prof. Fernando, Unisanta, 2010.
• http://www.brasilescola.com/matematica/sistema-inequacao-1-grau.htm (Acessado em 05/07/2013 as 11:33)
• http://www.infoescola.com/matematica/inequacao-do-primeiro-grau/ (Acessado em 05/07/2013 as 11:40)

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança no trabalho e técnico em informática, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e outros cursos. Se você acha legal esse projeto, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e ajude-nos a divulgar essa ideia, compartilhando com seus amigos as nossas postagens.

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