As Inequações do 1° e do 2° grau são sentenças matemáticas, com uma ou mais incógnitas, que são expressas por uma desigualdade, diferentemente das equações do 1° e do 2° grau, que são expressas por uma igualdade. Sendo que essa desigualdade pode ser representada através dos seguintes sinais :
>:
maior que
<:
menor que
≥:
maior ou igual
≤:
menor ou igual
≠:
diferente
Inequação do 1º grau
São expressões de 1º grau na incógnita x, que são escritas nas seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
Sendo a e b números reais e, a ≠ 0.
Exemplos:
1) 3x - 3 > 0 → 3x > 3 → x > 1
S = {x € R/ x > 1 }
Observação
Bolinha aberta, pois tem não igualdade no sinal da inequação , ou seja, não apresenta igualdade como nos sinais ≥ ( maior ou igual) e ≤ ( menor ou igual).
2) 6 -2x > 0 → -2x > -6 → x < 3
S = {x € R/ x < 3 }
Observações:
Quando se multiplica a inequação por (-1), o sinal da inequação inverte.
3) (x-1).(2-x) ≥ 0
y1 → (x1-1) ≥ 0 → x1 ≥ 1 S1 = { x1 € R/ x1≥ 1 }
y2 → (2-x2) ≥ 0 → x2 ≥ 2 S2 = { x2 € R/ x2 ≥ 2}
S = {x € R/ 1≤ x≤ 2 }
Observações:
- Quando multiplica por (-1), o sinal da inequação inverte.
- 1º equação Bolinha fechada, pois tem igualdade no sinal da inequação
- 2º equação Bolinha fechada, pois tem igualdade no sinal da inequação.
Inequação do 2ºgrau
São expressões de 2º grau na incógnita x, que podem ser resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. Sendo o resultado comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução. As inequações de 2º grau podem ser escritas nas seguintes formas:
ax² + bx + c > 0;
ax² + bx + c < 0;
ax² + bx + c ≥ 0;
ax² + bx + c ≤ 0.
Sendo a, b e c números reais e, a ≠ 0.
Exemplos :
a). x² -6x +5 ≤ 0
x² -6x +5 = 0
Δ = b²-4.a.c
Δ =(-6)2-4.(1).(5)
Δ= 36- 20= 16
$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2.(1)}=\begin{matrix}
{{x}_{1}}=1 \\
{{x}_{2}}=5 \\ \end{matrix}$
S = {x€ R/ 1≤ x≤ 5}
b) 3x - x² ≥ 0
3x - x² = 0
Δ = b²-4.a.c
Δ =(3)2-4.(-1).(0)
Δ= 9
$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-3\pm \sqrt{9}}{2.(-1)}=\begin{matrix}
{{x}_{1}}=0 \\
{{x}_{2}}=3 \\ \end{matrix}$
S = {x€ R/ 0 ≤ x≤ 3}
c) x² -4x +7 ≥ 0
x² -4x+7 = 0
Δ = b2-4.a.c
Δ =(-4)2-4.(-1).(7)
Δ= -12
Não há raiz real
S = {R}
$d)\frac{{{x}^{2}}-7}{x-4}\ge 0$
y1 = 0 → x²+7x = 0
x² + 7x= 0
Δ = b²-4.a.c
Δ =(-7)2-4.(1).(0)
Δ= 49
$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-7\pm \sqrt{49}}{2.(1)}=\begin{matrix}
{{x}_{1}}=0 \\
{{x}_{2}}=7 \\ \end{matrix}$
S1 = {x € R/ 0≤ x≤ 7}
y2 = 0 → x-4 =0 → x = 4
S2 = {x € R/ x ≥ 4}
S = {x € R/ 0≤ x≤ 4 ou x ≥7 }
e) (3x-6). (x² -5x +4) ≥ 0
y1 → (3x1-6). ≥ 0 → x1 ≥ 2 S1 = { x1 € R/ x1 ≥ 2 }
y2 → (x² -5x +4) ≥ 0
Δ = b2-4.a.c
Δ =(-5)2-4.(1).(4)
Δ= 9
$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2.(1)}=\begin{matrix}
{{x}_{1}}=1 \\
{{x}_{2}}=4 \\ \end{matrix}$
S = {x € R/ 1≤ x≤ 2 ou x ≥ 4 }
f) x²-6x +9 >0
x²-6x + 9 = 0
Δ = b2-4.a.c
Δ =(-6)2-4.(1).(9)
Δ= 0
$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{6\pm \sqrt{0}}{2.(1)}=3$
S = {x € R / x < 3 e x > 3}
Referências
