Componentes ortogonais (Componentes de um vetor)

POR Pedro Coelho

Publicado: sexta-feira, 9 de outubro de 2015

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Os componentes ortogonais são componentes que fazem um ângulo de 90 graus entre o eixo x e y, sendo que para se obter um componente ortogonal necessita-se de 2 vetores, que nessa demonstração simples, eu vou chamar de vetor $\overrightarrow{C}$ e de vetor $\overrightarrow{d}$, e o vetor que eu quero obter suas componentes será o vetor $\overrightarrow{U}$(componente ortogonal).

Para começar essa demonstração:

$\overrightarrow{U}$ será a resultante de $\overrightarrow{C}$ e $\overrightarrow{d}$ : $\overrightarrow{U}=\overrightarrow{C}+\overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{d}$ e $\overrightarrow{C}$ serão ortogonais : $\overrightarrow{\text{d}}|\overrightarrow{\text{C}}$ (formando um ângulo de 90°)

e $\overrightarrow{C}$ tem a direção do vetor $\overrightarrow{V}$: $\overrightarrow{C}$//$\overrightarrow{V}$

E para encontrar $\overrightarrow{C}$ e $\overrightarrow{d}$ usamos essas fórmulas abaixo:

$\overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}}{\overrightarrow{V}.\overrightarrow{V}}.\overrightarrow{V}~~~~~~~~~\overrightarrow{d}=\overrightarrow{U}-\overrightarrow{C}$

Exercícios de aplicação

1) Obtenha os componentes ortogonais de $\overrightarrow{U}=\left( -5,1,10 \right)$, tendo uma delas a direção de $\overrightarrow{V}=\left( 1,-3,-2 \right)$

Resolução

$\overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}}{\overrightarrow{V}.\overrightarrow{V}}.\overrightarrow{V}=\frac{\left( -5,1,10 \right).\left( 1,-3,-2 \right)}{\left( 1,-3,-2 \right).\left( 1,-3,-2 \right)}.\left( 1,-3,-2 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{C}=\frac{\left( -5-3-20 \right)}{\left( 1+9+4 \right)}.\left( 1,-3,-2 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{C}=-\frac{28}{14}.\left( 1,-3-2 \right)=\left( -2,6,4 \right)$

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{U}-\overrightarrow{C}=\left( -5,1,10 \right)-\left( -2,6,4 \right)=\left( -3,-5,6 \right)$

2) Obtenha os componentes ortogonais de $\overrightarrow{U}=\left( 2,3,5 \right)$, tendo uma delas a direção de $\overrightarrow{V}=\left( 4,-2,-4 \right)$

Resolução

$\overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}}{\overrightarrow{V}.\overrightarrow{V}}.\overrightarrow{V}=\frac{\left( 2,3,5 \right).\left( 4,-2,-4 \right)}{\left( 4,-2,-4 \right).\left( 4,-2,-4 \right)}.\left( 4,-2,-4 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{C}=\frac{\left( +8-6-20 \right)}{\left( 16+4+16 \right)}.\left( 4,-2,-4 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \overrightarrow{C}=-\frac{18}{36}.\left( 4,-2-4 \right)=\left( -1,1,2 \right)$

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{U}-\overrightarrow{C}=\left( 2,3,5 \right)-\left( -1,1,2 \right)=\left( 3,2,3 \right)$

Referências

• Notas de Geometria Analítica e Álgebra linear, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• 100 problemas de geometria analítica e vetores, Prof. Sérgio Rocha de Lara, Unisanta, 2010.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)