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Exercícios Resolvidos de Integral por substituição

Nessa postagem, eu estarei resolvendo alguns exercícios de integral por substituição. Sendo essa postagem uma continuação da postagem de integração por substituição

Exercícios Resolvidos de Integral por substituição

Exercícios resolvidos de integral por substituição


$a)f\left( x \right)=\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}\Rightarrow \int{\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

U=x2-3x+1
du=2x-3

$\Rightarrow \int{\frac{2}{2}.\left( 4x+6 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow \int{\frac{2}{1}.\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow 2\int{\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow \int{{{U}^{3}}du=\frac{{{U}^{3+1}}}{3+1}}+C=\frac{{{U}^{4}}}{4}+C\Rightarrow $


Logo:

$\Rightarrow 2\int{\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{3}}dx}=\frac{2{{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{4}}}{4}+C=$

$=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{4}}}{2}+C$


$b)f\left( x \right)=3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}\Rightarrow \int{3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $

U=2-x5
du=-5x4

$\Rightarrow \int{\frac{-5}{-5}.\frac{3}{3}3{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}=\int{\frac{3}{-5}.-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow -\frac{3}{5}.\int{-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow \int{{{U}^{3}}du=\frac{{{U}^{3+1}}}{3+1}}+C=\frac{{{U}^{4}}}{4}+C\Rightarrow $


Logo:

$\Rightarrow -\frac{3}{5}.\int{-5{{x}^{4}}{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{3}}dx}=-\frac{3}{5}.\frac{{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{4}}}{4}+C=$

$=\frac{-3{{\left( 2-{{x}^{5}} \right)}^{4}}}{20}+C$


$c)f\left( x \right)=\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)\Rightarrow \int{\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $

U=2x4-5
du=8x3

$\Rightarrow \int{\frac{8}{8}.\left( \frac{3{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow \int{\frac{3}{8}.\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\frac{du}{U}=\frac{3}{8}.\ln \left( u \right)}+C\Rightarrow $


Logo:

$\Rightarrow \frac{3}{8}\int{\left( \frac{8{{x}^{3}}}{2{{x}^{4}}-5} \right)dx}=\frac{3}{8}.\ln \left( 2{{x}^{4}}-5 \right)+C$

$d)f\left( x \right)=10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)\Rightarrow \int{10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$

U=x2-7
du=2x

$\Rightarrow \int{\frac{5}{5}.10x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }\int{\frac{5}{1}.2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow 5\int{2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx\Rightarrow }$

$\Rightarrow 5\int{sen\left( U \right)}~du=-5\cos \left( U \right)+C$


Logo:

$\Rightarrow 5\int{2x~sen~\left( {{x}^{2}}-7 \right)dx}=-5\cos \left( {{x}^{2}}-7 \right)+C$

$e)f\left( x \right)=\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}\Rightarrow \int{\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}}~dx$

U=4x
du=4

$\Rightarrow \int{\frac{2}{2}.\frac{3}{3}.\frac{8}{3}~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow \int{\frac{2}{3}.4~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{2}{3}\int{4~{{e}^{4x}}}~dx\Rightarrow $

$\Rightarrow \frac{2}{3}{{\int{e}}^{U}}du=\frac{2}{3}{{e}^{U}}+C$

Logo:

$\Rightarrow \frac{2}{3}\int{4~{{e}^{4x}}}~dx=\frac{2}{3}{{e}^{4x}}+C$

Postagem em formato de vídeo


Para a turma que não está muito afim de ler, segue o link da postagem em formato de vídeo:




Referências

  • Notas de Cálculo Integral e Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011. 
  •  Notas de aula de Cálculo Integral e Diferencial, Prof. Carlos Lúcio Benjamin, São Paulo, 2010.

Sobre o autor


Pedro Coelho Olá meu nome é , eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)

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