Lei de Newton para aquecimento e resfriamento

POR Pedro Coelho

Publicado: terça-feira, 23 de dezembro de 2014

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A lei de Newton para aquecimento e resfriamento é uma equação que é usada para determinar a temperatura de um corpo sem fonte interna ou externa de calor. Sendo que segundo ela, a temperatura de um corpo aumenta ou diminui de forma proporcional a diferença entre a sua temperatura e a do ambiente.

A lei é dada pela seguinte equação diferencial:

Sendo:

• dT/dt a variação da temperatura no tempo.
• α a constante de proporcionalidade
• T a temperatura do objeto, que se pretende aquecer ou resfriar.
• A a temperatura do Ambiente.

exemplos de aplicação

1) Joãozinho colocou uma forma que está a 20°C em um forno à 220°C e, após 15 minutos a forma está a 120 °C.

Seja T =T(t) =temperatura do forno no instante t. Determine:

a) A equação da temperatura (T)?

b) A temperatura (T) após 30 e 45 minutos?

c) A velocidade com que a temperatura (T) aumenta após 30 e após 45 minutos?

Resolução

$T'=-\alpha \left( T-220 \right)\Rightarrow \frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-220 \right)\Rightarrow$

$dT=-\alpha \left( T-220 \right)dt\Rightarrow \frac{dT}{(T-220)}=-\alpha dt\Rightarrow$

$\Rightarrow \int{\frac{1}{\left( T-220 \right)}dT}=\int{-\alpha ~dt}\Rightarrow $

(vide:Tabela de Integrais Elementares)

$\Rightarrow \ln \left( T-220 \right)=~-\alpha t+C$

$\Rightarrow T-220={{e}^{-\alpha t+C}}\Rightarrow T-220={{e}^{-\alpha t}}~.~{{e}^{C}}$

$\text{Sendo que }{{\text{e}}^{\text{C}}}=\text{ C}$

$Logo:T-220=C{{e}^{-\alpha t}}\Rightarrow T=220+C{{e}^{-\alpha t}}$

$\text{Sendo T}\left( 0 \right)\text{ }=\text{ 2}0{}^\circ \text{C}$

$T=220+C{{e}^{-\alpha t}}\Rightarrow 20=220+C{{e}^{-\alpha 0}}\Rightarrow $

$\Rightarrow 20=220+C\left( 1 \right)\Rightarrow C=-200$

$\text{Em T}\left( \text{15} \right)\text{ }=\text{ 12}0{}^\circ \text{C}$

$T=220+C{{e}^{-\alpha t}}\Rightarrow 120=220-200{{e}^{-\alpha 15}}\Rightarrow $

$\Rightarrow -100=-200{{e}^{-\alpha 15}}\Rightarrow {{e}^{-\alpha 15}}=\frac{-100}{-200}\Rightarrow $

$\Rightarrow {{e}^{-\alpha 15}}=\frac{1}{2}\Rightarrow -15\alpha =\ln \left( 0,5 \right)\Rightarrow $

$-15\alpha =-0,693\Rightarrow \alpha =\frac{-0.693}{-15}=0,0462$

$b)T\left( 30 \right)=220+C{{e}^{-\alpha t}}\Rightarrow $

$\Rightarrow T\left( 30 \right)=220+\left( -200 \right){{e}^{-0,0462\left( 30 \right)}}\Rightarrow $

$T\left( 30 \right)=170{}^\circ C$

$T\left( 45 \right)=220+C{{e}^{-\alpha t}}\Rightarrow $

$\Rightarrow T\left( 45 \right)=220+\left( -200 \right){{e}^{-0,0462\left( 45 \right)}}\Rightarrow $

$T\left( 45 \right)=194,98{}^\circ C$

$c){T}'=-\alpha \left( T-220 \right)\Rightarrow $

$T{{(30)}^{\prime }}=-0,0462(170-220)={{2,31}^{{}^\circ }}C/\min $

${T}'=-\alpha \left( T-220 \right)\Rightarrow $

$T{{(45)}^{\prime }}=-0,0462(194,98-220)={{1,15}^{{}^\circ }}C/\min $

2) Uma latinha de cerveja a 20°C é colocada em um freezer com temperatura constante de -12°C e após 60 min , ela está a 0°C .

Sendo T =T(t) = temperatura da latinha após t minutos. Determine:

a) A equação da temperatura (T)?

b) A temperatura (T) após 20 e 40 minutos?

c) A velocidade com que a temperatura (T) diminui após 20 e 40 minutos?

d)Quanto tempo se deve aguardar para a cerveja estar a - 4°C ?

Resolução

${T}'=-\alpha \left( T-\left( -12 \right) \right)\Rightarrow \frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T+12 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow dT=-\alpha \left( T+12 \right)dt\Rightarrow \frac{dT}{(T+12)}=-\alpha dt\Rightarrow $

$\Rightarrow \int{\frac{1}{\left( T+12 \right)}dT}=\int{-\alpha ~dt}\Rightarrow $

(vide:Tabela de Integrais Elementares)

$\Rightarrow \ln \left( T+12 \right)=~-\alpha t+C\Rightarrow $

$\Rightarrow T+12={{e}^{-\alpha t+C}}\Rightarrow T+12={{e}^{-\alpha t}}~.~{{e}^{C}}$

$\text{Sendo que }{{\text{e}}^{\text{C}}}=\text{ C}$

$Logo:T+12=C{{e}^{-\alpha t}}\Rightarrow T=-12+C{{e}^{-\alpha t}}$

$\text{Sendo T}\left( 0 \right)\text{ }=\text{ 2}0{}^\circ \text{C}$

$T=-12+C{{e}^{-\alpha t}}\Rightarrow 20=-12+C{{e}^{-\alpha 0}}\Rightarrow $

$\Rightarrow 20=-12+C\left( 1 \right)\Rightarrow C=32$

$\text{Em T}\left( \text{6}0 \right)\text{ }=\text{ }0{}^\circ \text{C}$

$T=-12+C{{e}^{-\alpha t}}\Rightarrow 0=-12+32{{e}^{-\alpha 60}}\Rightarrow $

$\Rightarrow 12=+32{{e}^{-\alpha 60}}\Rightarrow {{e}^{-\alpha 60}}=\frac{12}{32}\Rightarrow $

$\Rightarrow {{e}^{-\alpha 60}}=0,375\Rightarrow -60\alpha =\ln \left( 0,375 \right)\Rightarrow $

$-60\alpha =-0,981\Rightarrow \alpha =\frac{-0.981}{-60}=0,0163$

$a)T(t)=-12+32{{e}^{-0,0163t}}$

$b)T\left( 20 \right)=-12+32{{e}^{-0,0163\left( 20 \right)}}=11,1{}^\circ C$

$T\left( 40 \right)=-12+32{{e}^{-0,0163\left( 40 \right)}}=4,7{}^\circ C$

$c){T}'=-\alpha \left( T+12 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow T(20)'=-0,0163(11,1+12)=-0,4{}^\circ C/\min $

${T}'=-\alpha \left( T+12 \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow T(40)'=-0,0163(4,7+12)=-0,3{}^\circ C/\min $

$d)T(t)=-4$

$T(t)=-12+32{{e}^{-0,0163t}}\Rightarrow $

$\Rightarrow -4=-12+32{{e}^{-0,0163t}}$

$8=32{{e}^{-0,0163t}}\Rightarrow {{e}^{-0,0163t}}=\frac{8}{32}\Rightarrow $

${{e}^{-0,0163t}}=0,25\Rightarrow -0,0163t=\ln \left( 0,25 \right)$

$t=\frac{-1,386}{-0,0163}=85\min $

Referências

• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Prof Sergio, Santos, São Paulo, 2011.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)