Regras de derivação: Exemplos de Exercícios Resolvidos

POR Pedro Coelho

Publicado: segunda-feira, 20 de outubro de 2014

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Nessa postagem, eu estarei abordando um pouco sobre as regras de derivação, aplicando as regras de derivação para derivar algumas funções.

Exemplos de Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Simples

$y={{x}^{n}}\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}$

Exemplos de exercícios:

$1)y={{x}^{2}}\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}=2.{{x}^{2-1}}=2x$

$2)y=\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}=-1{{x}^{-1-1}}=-1{{x}^{-2}}=-1\left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{-1}{{{x}^{2}}}$

$3)y=\sqrt{x}=\sqrt[2]{{{x}^{1}}}={{x}^{\frac{1}{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}=\frac{1}{2}.{{x}^{\left( \frac{1}{2}-1 \right)}}=\frac{1}{2}.{{x}^{\left( -\frac{1}{2} \right)}}=\frac{1}{2{{x}^{\left( \frac{1}{2} \right)}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$4)y=\frac{{{x}^{5}}}{\sqrt[5]{x}}=\frac{{{x}^{5}}}{{{x}^{\frac{1}{5}}}}={{x}^{\left( 5-\frac{1}{5} \right)}}={{x}^{\frac{24}{5}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}=\frac{24}{5}.{{x}^{\left( \frac{24}{5}-1 \right)}}=\frac{24}{5}.{{x}^{\frac{19}{5}}}=\frac{24}{5}\sqrt[5]{{{x}^{19}}}$

$5)y={{x}^{3}}.\sqrt[5]{{{x}^{2}}}={{x}^{3}}.{{x}^{\frac{2}{5}}}={{x}^{\left( 3+\frac{2}{5} \right)}}={{x}^{\frac{17}{5}}}\Rightarrow $


$\Rightarrow y'=n.{{x}^{n-1}}=\frac{17}{5}.{{x}^{\left( \frac{17}{5}-1 \right)}}=\frac{17}{5}.{{x}^{\frac{12}{5}}}=\frac{17}{5}\sqrt[5]{{{x}^{12}}}$

Exemplo de Exercício Resolvido de Derivada da Função Composta

$y=U\left( V\left( x \right) \right)\Rightarrow y'=U'\left( V\left( x \right) \right).V'$

Exemplo de exercício:

$1)y=\cos \left( 4{{x}^{2}}-1 \right)$

$U=\cos \left( 4{{x}^{2}}-1 \right)\Rightarrow U'=-sen\left( 4{{x}^{2}}-1 \right)$

$V=4{{x}^{2}}-1\Rightarrow V'=8x$

Vide: tabela de derivadas elementares

$y'=U'\left( V\left( x \right) \right).V'=-sen\left( 4{{x}^{2}}-1 \right).8x$

Exemplos de Exercícios Resolvidos de Derivada da Soma e Subtração de Funções

$y=U+V\Rightarrow y'=U'+V'$

$y=U-V\Rightarrow y'=U'-V'$

Exemplos de exercícios:

$1)y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}=U+V$

$U={{x}^{3}}\Rightarrow U'=3{{x}^{2}}$

$V={{x}^{2}}\Rightarrow V'=2x$

$y'=U'+V'=3{{x}^{2}}+2x$

$2)y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}=U-V$

$U={{x}^{3}}\Rightarrow U'=3{{x}^{2}}$

$V={{x}^{2}}\Rightarrow V'=2x$

$y'=U'-V'=3{{x}^{2}}-2x$

Exemplo de Exercício Resolvido de Derivada de um Produto de Funções

$y=\left( U \right).\left( V \right)\Rightarrow y'=\left( U' \right).\left( V \right)+\left( U \right).\left( V' \right)$

Exemplo de exercício:

$y=4{{x}^{3}}.sen\left( x \right)=\left( U \right).\left( V \right)$

$U=4{{x}^{3}}\Rightarrow U'=12{{x}^{2}}$

$V=sen\left( x \right)\Rightarrow V'=\cos \left( x \right)$

Vide: tabela de derivadas elementares

$y'=\left( U' \right).\left( V \right)+\left( U \right).\left( V' \right)\Rightarrow $

$y'=\left( 12{{x}^{2}} \right).\left( sen\left( x \right) \right)+\left( 4{{x}^{3}} \right).\left( \cos \left( x \right) \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=12{{x}^{2}}sen\left( x \right)+4{{x}^{3}}\cos \left( x \right)$

Exemplo de Exercício Resolvido de Derivada do Quociente de funções

$y=\frac{U}{V}\Rightarrow y'=\frac{\left( U \right)'.\left( V \right)-\left( U \right).\left( V \right)'}{{{V}^{2}}}$

Exemplo de exercício:

$1)y=\frac{5x-4}{2-3x}=\frac{U}{V}$

$U=5x-4\Rightarrow U'=5$

$V=2-3x\Rightarrow V'=-3$

$y'=\frac{\left( U \right)'.\left( V \right)-\left( U \right).\left( V \right)'}{{{V}^{2}}}=\frac{\left( 5 \right).\left( 2-3x \right)-\left( 5x-4 \right).\left( -3 \right)}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=\frac{\left( 10-15x \right)-\left( -15x+12 \right)}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}=\frac{10-15x+15x-12}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}\Rightarrow $

$\Rightarrow y'=\frac{-2}{{{\left( 2-3x \right)}^{2}}}$

Listas de Exercicios Resolvidos de Derivadas

• Exercícios resolvidos de derivada do produto de uma função
• Exercícios resolvidos de derivada do quociente de uma função
• Exercícios resolvidos usando regra de derivação

Referências

• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.
• Notas de Cálculo Integral Diferencial, Prof. Fernando, Santos, São Paulo, 2010.

Sobre o autor

Olá meu nome é Pedro Coelho, eu sou engenheiro químico, engenheiro de segurança do trabalho e Green Belt em Lean Six Sigma. Além disso, também sou estudante de engenharia civil, e em parte de minhas horas vagas me dedico a escrever artigos aqui no ENGQUIMICASANTOSSP, para ajudar estudantes de Engenharia Química e de áreas correlatas. Se você está curtindo essa postagem, siga-nos através de nossas paginas nas redes sociais e compartilhe com seus amigos para eles curtirem também :)